Identidades Trigonométricas Fundamentales


Las identidades trigonométricas son aquellas igualdades entre las razones trigonométricas de un ángulo y todos los valores posibles que admite dicho ángulo.

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Recordando:    
\(sen^2x=senx.senx\)
\(sen^3x=senx.senx.senx\)
\(cos^5x=cosx.cosx.cosx.cosx.cosx\)
\(tan^4x=tanx.tanx.tanx.tanx \) Así sucesivamente. 

También recordando las operaciones 
\(senx + senx= 2senx\)
\(senx+2senx+3senx=6senx\)
\( \require{cancel} \displaystyle \frac{sen^2x}{senx}=\frac{\cancel{senx}.senx}{\cancel{senx}}=senx \)

Ahora que recordamos las razones trigonométricas estudiemos las principales identidades trigonométricas. Las cuales son las identidades reciprocas, las identidades de cociente y las identidades pitagóricas.

Identidades Recíprocas


Las identidades recíprocas se refieren a las inversas de las razones trigonométricas  de un mismo ángulo.

\(  \bbox[10px,border:3px solid blue]
{ cscx=\displaystyle \frac{1}{senx} } \quad \text{obtenemos}
\begin{cases}
senx=\displaystyle\frac{1}{cscx} \\ \\
senx .cscx=1
\end{cases} 
\)

\(\bbox[10px,border:3px solid blue]
{secx=\displaystyle \frac{1}{cosx}} \quad \text{obtenemos}
\begin{cases}
cosx=\displaystyle \frac{1}{secx}\\ \\
cosx.secx=1
\end{cases}
\)

\(\bbox[10px,border:3px solid blue]
{tanx=\displaystyle\frac{1}{cotx}} \quad \text{obtenemos}
\begin{cases}
cotx=\displaystyle\frac{1}{tanx}\\ \\
tanx.cotx=1
\end{cases}
\)

Ejemplos:
Veamos la cosecante y su recíproca el seno.
\( \checkmark\)La recíproca de la cosecante es el seno
\(\quad csc20^0=\displaystyle\frac{1}{sen20^o} \)

\( \checkmark\) La recíproca del seno es la cosecante
\( \quad sen20^o=\displaystyle\frac{1}{csc20^0}\)

\( \checkmark\) El producto del seno y su reciproca la cosecante es 1
\( \quad sen20^o.csc20^o=1\)

     nota
\(Si \quad sen\color{blue}\alpha .csc\color{blue}\beta =1 \quad entonces \quad  \color{blue}\alpha=\color{blue}\beta\)

Veamos la secante y su recíproca el coseno:
\( \checkmark\) La recíproca de la secante es el coseno
\(\quad sec45^o=\displaystyle\frac{1}{cos45^o}\)

\( \checkmark\) La recíproca del coseno es la secante
\( \quad cos45^o=\displaystyle \frac{1}{sec45^o}\)

\( \checkmark\) El producto del coseno y su recíproca la secante es 1
\( \quad cos45^o.sec45^o=1\)

    nota:
\( Si\quad cos \color{blue}\alpha .sec \color{blue}\beta =1\) entonces \( \color{blue}\alpha =\color{blue} \beta\)

Veamos la tangente y su recíproca la cotangente:
\( \checkmark\) La recíproca de la cotangente es la tangente
\( \quad cot30^o=\displaystyle \frac{1}{tan30^0}\)

\( \checkmark\) La recíproca de la tangente es la cotangente
\( \quad tan30^o=\displaystyle\frac{1}{cot30^0}\)

\( \checkmark\) El producto de la tangente y su recíproca la cotangente es 1
\( \quad tan45^o.cot45^o=1\)

  nota: Si \(\tan \color{blue}\alpha . cot \color{blue}\beta =1\) entonces \( \color{blue}\alpha = \color{blue}\beta\)

Identidades de Cociente


\( \quad \bbox[10px,border:3px solid blue] {tanx=\displaystyle \frac{senx}{cosx}}\)

\( \quad  \bbox[10px,border:3px solid blue] {cotx=\displaystyle \frac{cosx}{senx}}\)

Ejemplos:
\( \checkmark\)\(tan53^o=\displaystyle \frac{sen53^o}{cos53^o}\)

  \( \checkmark\)\(cot53^o=\displaystyle\frac{cos53^o}{sen53^o}\)

  \( \checkmark\)\(tan45^o=\displaystyle\frac{sen45^o}{cos45^o}\)

  \( \checkmark\)\(cot53^o=\displaystyle\frac{cos53^o}{sen53^o}\)

Identidades Pitagóricas


\( \bbox[10px,border:3px solid blue] {sen^2x + cos^2x=1} \quad  obtenemos \quad   
\begin{cases}
sen^2x=1-cos^2x \\
cos^2x=1-sen^2x
\end{cases} \)

  \(\bbox[10px,border:3px solid blue] {1 + tan^2x=sec^2x} \quad    obtenemos   \quad
\begin{cases}
tan^2x=sec^2x -1 \\
sec^2x-tan^2x = 1
\end{cases}\)

  \(\bbox[10px,border:3px solid blue] {1 + cot^2x=csc^2x}\quad   obtenemos \quad
\begin{cases}
cot^2x=csc^2x -1 \\
csc^2x-tan^2x = 1
\end{cases}\)

Ejemplos:
Apliquemos la primera identidad pitagórica.
\( \checkmark\)\(sen^230^o+cos^230^o=1\)

\( \checkmark\)\(sen^230^o=1-cos^230^o\)

\( \checkmark\)\(cos^230^o=1-sen^230^o\)

Apliquemos la segunda identidad pitagórica
\( \checkmark\)\(1+tan^245^o=sec^245^o\)

\( \checkmark\)\(tan^245^o=sec^245^o-1\)

\( \checkmark\)\(sec^245^o-tan^245^o=1\)

Apliquemos la tercera identidad pitagórica
\( \checkmark\)\(1+cot^237^o=csc^237^o\)

\( \checkmark\)\(cot^237^o=csc^237^o-1\)

\( \checkmark\)\(csc^237^o-cot^237^o=1\)

Identidades Auxiliares

\(1. \quad tanx+cotx=secx.cscx\)

\(2. \quad sec^2x+csc^2x=sec^2x.csc^2\)

\(3. \quad sen^4x+cos^4x=1-2sen^2x.cos^2x\)

\(4. \quad sen^6x+cos^6x=1-3sen^2x.cos^2x\)

\( 5. \quad (senx+cosx)^2=1+2senx.cosx  \)
\( \; \:\quad (senx-cosx)^2=1-2senx.cosx  \)

\(6. \quad (1±senx±cosx)^2=2(1±senx)(1±cosx) \)

Tabla de Identidades Trigonométricas

Aquí tenemos un resumen de las principales identidades trigonométricas o fórmulas trigonométricas.

Identidades Recíprocas Identidades de Cociente Identidades Pitagóricas
\(cscx=\displaystyle \frac {1}{senx}\)

\(secx=\displaystyle \frac {1}{cosx}\)

\(cotx=\displaystyle \frac {1}{tanx}\)

\( tanx=\displaystyle \frac{senx}{cosx}\)


\( cotx=\displaystyle \frac{cosx}{senx}\)

\(sen^2x+cos^2x=1\)

\(1+tan^2x=sec^2x\)

\(1+cot^2x=csc^2x\)

 

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Problemas Resueltos


Para poder resolver nuestros primeros problemas solo basta recordar la tabla de identidades trigonométricas o fórmulas trigonométricas. Iniciaremos con problemas muy elementales.

Simplificación de Identidades Trigonométricas

1. Reducir:
\(M=sen^2x+cos^2x+tan^2x\)
Solución
Recordando la identidad pitagórica 
\(sen^2x+cos^2x=1\)
reemplazando
\(M=\underbrace{sen^2x+cos^2x}_{1}+tan^2x\)
\(M=1+tan^2x\)
recordando la identidad pitagórica \(1+tan^2x=sec^2x\)
\(M=sec^2x\)

2. Simplificar:
\(Q=1-sen^2x+cos^2x\)
Solución
Recordando 
\(sen^2x+cos^2x=1\)
\(cos^2x=1-sen^2x\)

\(Q=\underbrace{1-sen^2x}_{cos^2x}+cos^2x\)
reemplazando
\(Q=cos^2x+ cos^2x\)
sumando
\(Q=2cos^2x\)

3. Simplificar:
\(M=cosx.tanx+senx\)
Solución
Recordando la identidad de cociente
\(tanx=\displaystyle \frac{senx}{cosx}\)

\(M=cosx.\underbrace{tanx}_{\frac{senx}{cosx}}+senx\)

\( \require{cancel}M=\color{red}{\cancel{\color{black}{cosx}}}.\displaystyle\frac{senx}{\color{red}{\cancel{\color{black}{cosx}}}}+senx\)
\(M=senx+senx\)
\(M=2senx\)

4. Reducir:
\(M=2senx-cosx.tanx\)
Solución
Recordando la identidad de cociente
\(tanx=\displaystyle\frac{senx}{cosx}\)

\(M= 2senx-cosx. \underbrace{tanx}_{\frac{senx}{cosx}}\)

\(M=2senx-\cancel{cosx}.\displaystyle\frac{senx}{\cancel{cosx}}\)
\(M=2senx-senx\)
\(M=senx\)

5. Reducir:
\(Q=\displaystyle \frac{tanx+cotx}{cscx}\)
Solución
Recordando la identidad auxiliar \(tanx+cotx=secx.cscx\)
\(Q=\displaystyle \frac{\overbrace{tanx+cotx}^{secx.cscx}}{cscx}\)
Reemplazando
\(Q=\displaystyle \frac{secx.\cancel{cscx}}{\cancel{cscx}}\)
\(Q=secx \)

6. Simplificar:
\(N=tanx(cotx+tanx)\)
Solución
Recordando la multiplicación \(a(b+c)=a.b+a.c\)
Multiplicando
\( N=tanx.cotx+tanx.tanx \)
\(N=tanx.cotx+tan^2x\)
Recordando la identidad recíproca 
\(\displaystyle tanx=\frac {1}{cotx}\) entonces \(tanx.cotx=1\)

\(N=\overbrace{tanx.cotx}^{1}+tan^2x\)
\(N=1+tan^2x\)
Recordando la identidad pitagórica \(1+tan^2x=sec^2x\)
\(N=sec^2x\)

7. Simplificar:
\(E=\displaystyle \frac{1-sen^2x}{cos^2x}+\frac{1-cos^2x}{sen^2x}\)
Solución
Recordando
\(cos^2x=1-sen^2x\)
\(sen^2x=1-cos^2x\)

\(E=\displaystyle\frac{\overbrace{1-sen^2x}^{cos^2x}}{cos^2x}+\frac{\overbrace{1-cos^2x}^{sen^2x}}{sen^2x}\)

\(E=\displaystyle \frac{\cancel{cos^2x}}{\cancel{cos^2x}}+\frac{\cancel{sen^2x}}{\cancel{sen^2x}}\)

\(E=1+1\)

\(E=2\)

8. Simplificar:
\(M=\displaystyle\frac{1+tan^2x}{sec^2x}+\frac{1+cot^2x}{csc^2x}\)
Solución
Recordando
\(1+tan^2x=sec^2x\)
\(1+cot^2x=csc^2x\)

\(M=\displaystyle\frac{\overbrace{1+tan^2x}^{sec^2x}}{sec^2x}+\frac{\overbrace{1+cot^2x}^{csc^2x}}{csc^2x}\)

\(M=\displaystyle\frac{sec^2x}{sec^2x}+\frac{csc^2x}{csc^2x}\)

\(M=1+1\)

\(M=2\)

9. Simplificar:
\(M=sen^2x.cotx\)
Solución
Recordando:
\(cotx=\displaystyle\frac{cosx}{senx}\)

\(M=sen^2x.\underbrace{cotx}_{\frac{cosx}{senx}}\)

\(M=\displaystyle sen^2x.\frac{cosx}{senx}\)

Recuerde \(sen^2x=senx.senx\)

\(M=\displaystyle senx.\cancel{senx}.\frac{cosx}{\cancel{senx}}\)

\(M=senx.cosx\)

10. Simplificar:
\(Q=\displaystyle \frac{tanx+cotx}{secx}\)
solución
Recordando la identidad auxiliar
\(tanx+cotx=secx.cscx\)

\(Q=\displaystyle \frac{\overbrace{tanx+cotx}^{secx.cscx}}{secx}\)

\(Q=\displaystyle \frac{secx.cscx}{secx}=\displaystyle \frac{\cancel{secx}.cscx}{\cancel{secx}}\)

\(Q=cscx\)

11. Simplificar:
\(Q=\displaystyle \frac{1-senx}{cosx}+tanx\)
Solución
Recordando \( \displaystyle tanx=\frac{senx}{cosx}\)

\(Q=\displaystyle \frac{1-senx}{cosx}+\underbrace{tanx}_{\frac{senx}{cosx}}\)

\(Q=\displaystyle \frac{1-senx}{cosx}+\frac{senx}{cosx}\)

\(Q=\displaystyle \frac{1-senx+senx}{cosx}\)

\(Q=\displaystyle \frac{1}{cosx}\)

\(Q=secx\)

12. Simplificar:
\(E= (1+tan^2x)(1-sen^2x)\)
Solución
Recordando
\(E= \underbrace{(1+tan^2x)}_{sec^2x} \underbrace{(1-sen^2x)}_{cos^2x}\)

\(E= sec^2x.cos^2x\)

\(secx.cosx=1\) por identidad recíproca
\( (secx.cosx)^2=(1)^2\) obtenemos  \(sec^2x.cos^2x=1\)

\(E=1\)

13. Simplificar:
\(Q=\displaystyle \frac{sen^3x}{1-cos^2x}\)
Solución

\(Q=\displaystyle \frac{sen^3x}{\underbrace{1-cos^2x}_{sen^2x}}\)

\(Q=\displaystyle \frac{sen^3x}{senx^2x}=\frac{\cancel{senx}.\cancel{senx}.senx}{\cancel{senx}.\cancel{senx}}=senx\)

La próxima vez solo haremos
\(Q=\displaystyle \frac{\cancel{sen^3x}}{\cancel{sen^2x}}=senx \)

14. Reducir
\(K= \displaystyle \frac{sec^2x-tan^2x}{secx+tanx} + tanx \)
Solución
Recuerda caracterización  \(a^2-b^2 =(a+b)(a-b) \)
Es decir  \( sec^2x-tan^2x = (secx+tanx)(secx-tanx) \)
Reemplazando
\( \require{cancel}K= \displaystyle \frac{ \cancel{(secx+tanx)}(secx-tanx)}{ \cancel{secx+tanx}} + tanx \)
\( K = secx-tanx +tanx \)
\(  K= secx \)

15. Simplificar:
\(M=\displaystyle \frac{cosx-cos^3x}{senx-sen^3x}\)
Solución
Recuerda factorización  \( a-a^3=a(1-a^2) \)

\(M=\displaystyle \frac{cosx(1-cos^2x)}{senx(1-sen^2x)}\)

\(M=\displaystyle \frac{cosx\overbrace{(1-cos^2x)}^{sen^2x}}{senx\underbrace{(1-sen^2x)}_{cos^2x}}\)

\(M=\displaystyle \frac{cosx.sen^2x}{senx.cos^2x}=\frac{\cancel{cosx}.\cancel{senx}.senx}{\cancel{senx}.\cancel{cosx}.cosx}\)

\(M=\displaystyle \frac{senx}{cosx}=tanx\)

16. Reducir la siguiente expresión
\(E=secx.cscx.cos^2x\)
Solución
Ponemos en función de senos y cosenos

\(E=\displaystyle \frac{1}{cosx}.\frac{1}{senx}.cos^2x\)

Simplificamos un coseno del numerador con un cosenos del denominador
\(E=\displaystyle \frac{1}{\cancel{cosx}}.\frac{1}{senx}.\cancel{cos^2x}\)

\(E=\displaystyle \frac{cosx}{senx}\)

\(E=cotx\)

17. Reducir la expresión:
\(M=(secx+1)(secx-1)\)
Solución
Recordando diferencia de cuadrados
\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)

\(M=(secx+1)(secx-1)=(secx)^2-1^2\)

\(M=secx^2-1\)

Recordando \(  sec^2x=tan^2x+1\)
Por lo tanto obtenemos \(  sec^2x-1= tan^2x \)

\(M=tan^2x\)

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18. Simplificar:
\(E=tanx(cotx + tanx) \)
Solución
Recordando a(b+c)=a.b+a.c
\(E=\underbrace{tanx.cotx}_{1} +\underbrace{tanx. tanx}_{tan^2x}) \)

\(E= 1+tan^2 x\)

\(E=sec^2x \)

19. Reducir la expresión
\(P= \displaystyle \frac{senx-sen^3x}{cosx-cos^3x} \)
Solución
\(P= \displaystyle \frac{senx-senx.sen^2x}{cosx-cosx.cos^2x} \)
Factorizando senx en el numerador y cosx en el denominador
\(P= \displaystyle \frac{senx(1-sen^2x)}{cosx(1–cos^2x)} \)

\(P= \displaystyle \frac{senx.cos^2x}{cosx.sen^2x} \)

\( \require{cancel}P= \displaystyle \frac{\cancel{senx}.\cancel{cosx}.cosx}{\cancel{cosx}.\cancel{senx}.senx} \)

\(P=\displaystyle \frac{cosx}{senx}=cotx\)

20. Reducir
\( M=(tanx +cotx)senx\)
Solución
Poniendo en función de senos y cosenos
\( M=(\displaystyle \frac{senx}{cosx} +\frac{cosx}{senx})senx\)

recordando \( \displaystyle \frac{a}{b}+\frac{c}{d} =\frac{a.d+b.c}{bd}\) 

\( M=[\displaystyle \frac{senx.senx+cosx.cosx}{cosx.senx}]senx \)

\( M=\displaystyle [\frac{senx^2x+cosx^2x}{cosx.senx} ]senx\)

\( M=\displaystyle \frac{1}{cosx.senx} .senx\)

\( M=\displaystyle \frac{1}{cosx} =secx\)

21. Reducir
\(N= (1-cos^2x)(1+cot^2x)+(1-sen^2x)(1+tan^2x) \)
Solución
\(N= \underbrace{(1-cos^2x)}_{sen^2x}\underbrace{(1+cot^2x)}_{cosec^2x}+\underbrace{(1-sen^2x)}_{cos^2x}\underbrace{(1+tan^2x) }_{sec^2x}\)

\(N=sen^2x.cosec^2x+cos^2x.sec^2x \)

Por identidades recíprocas \(senx.cosecx=1\)  y \(cosx.secx=1\)
Elevando al cuadrado \(sen^2x.cosec^2x=1\)  y \(cos^2x.sec^2x=1\)

\(N=1+1=2\)

22. Reducir:
\( C= \displaystyle \frac{tan^2x}{secx-1}   -secx  \)
Solución
  \(  \color{#0084d1}{tan^2x = sec^2x -1}    \)
reemplazando
\( C= \displaystyle \frac{  ( \color{#0084d1}{ sec^2x -1}) }{secx-1}   -secx \)

Recuerda \( a^2 -b^2 = (a+b)(a-b) \)
Es decir \(  sec^2x -1 =(secx+1)(secx-1)   \)

\(  \require{cancel} C= \displaystyle \frac{  (secx+1)\cancel{(secx-1)}  }{\cancel{secx-1}}   -secx  \)

\( C= secx+1  -secx  \)
\( C=1 \)

23. Reducir: 
\( P= cosx\sqrt{1+cot^2x} \)
Solución
Recuerda  \( \color{#0084d1}{1+cot^2x = cosec^2x} \)
\( P= cosx\sqrt{ \color{#0084d1}{cosec^2x} } \)
\( P= cosx.cosecx \)
Recureda \( \displaystyle  cosecx =\frac{1}{senx} \)
\( \displaystyle P= cosx \frac{1}{senx} \)

\(  \displaystyle P= \frac{cosx}{senx} \)

\( P= tanx \)

24. Simplificar:
I=  \(tanx \sqrt{1-sen^2x}  \)
Solución
\( I= tanx. \sqrt{cos^2x}  \)
\( I= tanx. cosx  \)

\( I=\displaystyle\frac{senx}{cosx}.cosx \)

\( I=senx \)

25. Calcular «m»
\( \displaystyle  \frac{cosx}{1+senx} +  \frac{cosx}{1-senx} = 2m  \)

Solución
Recordando \( \displaystyle \frac{a}{b}+\frac{c}{d} =\frac{a.d+b.c}{bd}\) 

\( \displaystyle \frac{cosx(1-senx) + cosx(1+senx)}{(1+senx)(1-senx)}=2m \)

\(  \displaystyle \frac{ cosx -cosx.senx +  cosx +cosx.senx }{1-sen^2x } =2m  \)
Reduciendo términos semejantes
\( \displaystyle \frac{2cosx}{cos^2x} =2m \)

\( \displaystyle \frac{2}{cosx}=2m \)

\( 2secx= 2m \)
\( secx=m\)

26. Reducir 
\( \displaystyle C= \frac{sen^2x-sen^4x}{cos^2x-cos^4x} \)
Solución
\( \displaystyle C= \frac{sen^2x-sen^2x.sen^2x}{cos^2x-cos^2x.cos^2x} \)

\( \displaystyle C= \frac{sen^2x(1-sen^2x)}{cos^2x(1-cos^2x)} \)

\( \displaystyle C= \frac{sen^2x.cos^2x}{cos^2x.sen^2x} \)

\( C=1 \)

27. Simplificar
\( Q= senx.cosx.tanx +senx.cosx.cotx \)
Solución
\( \displaystyle Q= senx.cosx.\frac{senx}{cosx}+senx.cosx.\frac{cosx}{senx} \)

\(  \displaystyle Q= senx.\cancel{cosx}.\frac{senx}{\cancel{cosx}}+\cancel{senx}.cosx.\frac{cosx}{\cancel{senx}} \)

\( Q= senx.senx +cosx.cosx \)

\( Q=sen^2x+cos^2x=1 \)

28. Simplificar 
\( M= sen^4x +cos^4x +2sen^2x . cos^2x \)
Solución
Recuerda las identidades auxiliares
\( M= \underbrace{sen^4x +cos^4x}_{1-2sen^2x.cos^2x} +2sen^2x . cos^2x \)

\( M= 1-2sen^2x.cos^2x +2sen^2x . cos^2x \)

\( M= 1\)

29. Reducir 
\( P= (1+senx+cosx).\sqrt{ \displaystyle \frac{ (1-senx) }{ (1+cosx) }  } \)
Donde  «x» pertenece al I Cuadrante
Solución
Recuerda \( (1+senx+cosx)^2 = 2(1+senx)(1+cosx) \)
\( P=\sqrt{ (1+senx+cosx)^2 }.\sqrt{ \displaystyle \frac{ (1-senx) }{ (1+cosx) }  } \)

\( P=\sqrt{ 2(1+senx)\cancel{(1+cosx)} }.\sqrt{ \displaystyle \frac{ (1-senx) }{ \cancel{(1+cosx)} }  }  \)

\( P=\sqrt{ 2(1+senx) (1-senx)  }  \)

\( P=\sqrt{ 2(1-sen^2x)  }  \)
\( P=\sqrt{ 2.cos^2x  }  \)
\( P=\sqrt{ 2}cosx  \)

30. Simplificar 
\( M= sen^6x +cos^6x +3sen^2x . cos^2x \)
Solución
Recuerda las identidades auxiliares
\( M= \underbrace{sen^6x +cos^6x}_{1-3sen^2x.cos^2x} +2sen^2x . cos^2x \)

\( M= 1-3sen^2x.cos^2x +3sen^2x . cos^2x \)

\( M= 1\)

31. Simplificar
\( R= \sqrt{1+2sena.cosa} \)
Solución
Recuerda \(1= sen^2a+cos^2a \)
\( R= \sqrt{sen^2a+cos^2a+2sena.cosa} \)
\( R= \sqrt{sen^2a+2sena.cosa+cos^2a} \)
\( R= \sqrt{ (sena+cosa)^2} \)
\( R=sena+cosa \)

32. Calcular
\( E= sec^4x-tan^4x -2tan^2x \)
Solución
Por diferencia de cuadrados
\( sec^4x-tan^4x=(sec^2x-tan^2x)(sec^2x+tan^2x) \)
Reemplazamos
\( E=(sec^2x-tan^2x)(sec^2x+tan^2x) -2tan^2x \)
Recuerda  \(sec^2x-tan^2x=1 \)
\( E=(sec^2x+tan^2x) -2tan^2x \)
\( E= sec^2x-tan^2x \)
\( E= 1\)

33. Calcular
Si: \(senx=a\) y \( tanx=b \)
\( E= (1-a^2)(1+b^2) \)
Solución
Reemplazando los datos
\( E= (1-sen^2x)(1+tan^2x) \)
\( E= cos^2x. sec^2x \)
\( E=1 \)

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Demostraciones de Identidades Trigonométricas

Para demostrar solo vamos a transformar el primer miembro de la igualdad. 

1. Demostrar la siguiente identidad.
\( 1 +tan^2x= sec^2x \)
Solución
Solo vamos a transformar el primer miembro 
\( 1 +\underbrace{tan^2x}_{\frac{sen^2x}{cos^2x}}= sec^2x \)

\( 1 + \displaystyle \frac{sen^2x}{cos^2x}= sec^2x \)

\(  \displaystyle \frac{cos^2x+sen^2x}{cos^2x}= sec^2x \)

Recuerda que \( cos^2x+sen^2x=1 \)
          \(  \displaystyle \frac{ \quad 1\quad }{cos^2x}= sec^2x \)

          \( sec^2x= sec^2x \)

2. Demostrar la siguiente identidad.
\( 1 +cot^2x= csc^2x \)
Solución
Solo vamos a transformar el primer miembro 
\( 1 +\underbrace{cot^2x}_{\frac{cos^2x}{sen^2x}}= csc^2x \)

\( 1 + \displaystyle \frac{cos^2x}{sen^2x}= csc^2x \)

\(  \displaystyle \frac{sen^2x+cos^2x}{sen^2x}= csc^2x \)

Recuerda que \( sen^2x+cos^2x=1 \)
          \(  \displaystyle \frac{ \quad 1\quad }{sen^2x}= csc^2x \)

          \( csc^2x= csc^2x \)

3. Demostrar
\( 1+\displaystyle \frac{tanx}{cotx}=sec^2x \)
Solución
Poniendo en función de senos y cosenos

\( 1+\frac{\displaystyle \quad \frac{senx}{cosx} \quad }{\displaystyle\frac{cosx}{senx}} =sec^2x \)

Recordando \( \frac{\displaystyle \frac{a}{b} }{\displaystyle \frac{c}{d}} =\displaystyle \frac{a.d}{b.c}\)

\( 1+\displaystyle\frac{senx.senx}{cosx.cosx} =sec^2x \)

\( 1+\displaystyle\frac{sen^2x}{cos^2x}=sec^2x \)

\( 1+tan^2x=sec^2x \)

\( sec^2x=sec^2x \)

4. Demostrar
\( tanx+cotx=secx.cscx \)
Solución
Poniendo en función de senos y cosenos
\( \displaystyle \frac{senx}{cosx}+\frac{cosx}{senx}=secx.cscx \)

recordando \( \displaystyle \frac{a}{b}+\frac{c}{d} =\frac{a.d+b.c}{bd}\) 

\( \displaystyle \frac{senx.senx+cosx.cosx}{cosx.senx}=secx.cscx \)

\( \displaystyle \frac{sen^2x+cos^2x}{cosx.senx}=secx.cscx \)

\( \displaystyle \frac{1}{cosx.senx}=secx.cscx \)

\( \displaystyle \frac{1}{cosx}. \frac{1}{senx}=secx.cscx \)

\( secx.cscx=secx.cscx \)

5. Demostrar
\( \displaystyle \frac{1-senx}{cosx}=\frac{cosx}{1+senx} \)
Solución
Multiplicando numerador y denominador por \( (1+senx) \)
\( \displaystyle \frac{(1-senx)\color{green}{(1+senx)}}{cosx\color{green}{(1+senx)}}=\frac{cosx}{1+senx} \)

Recuerda \( (a-b)(a+b)=a^2-b^2 \)
Es decir \( (1-senx)(1+senx)=1-sen^2x \)
Reemplazando
\( \displaystyle \frac{1-sen^2x}{cosx(1+senx)}=\frac{cosx}{1+senx} \)

Recuerda \( 1-sen^2x=cos^2x \)

\( \displaystyle \frac{cos^2x}{cosx(1+senx)}=\frac{cosx}{1+senx} \)

\( \require{cancel} \displaystyle \frac{ \cancel{cosx}.cosx}{ \cancel{cosx}(1+senx)}=\frac{cosx}{1+senx} \)

\( \displaystyle \frac{cosx}{(1+senx)}=\frac{cosx}{1+senx} \)

6. Demostrar
\( \displaystyle \frac{1+cosx}{senx}=\frac{senx}{1-cosx} \)
Solución
Multiplicando numerador y denominador por \( (1-cosx) \)
\( \displaystyle \frac{(1+cosx)\color{green}{(1-cosx)}}{senx \color{green}{(1-cosx)}}=\frac{senx}{1-cosx} \)

Recuerda \( (a-b)(a+b)=a^2-b^2 \)
Es decir \( (1-cosx)(1+cosx)=1-cos^2x \)
Reemplazando
\( \displaystyle \frac{1-cos^2x}{senx(1-cosx)}=\frac{senx}{1-cosx} \)

\( \displaystyle \frac{sen^2x}{senx(1-cosx)}=\frac{senx}{1-cosx} \)

\( \displaystyle \frac{senx}{(1-cosx)}=\frac{senx}{1-cosx} \)

7. Demostrar
\(sec^2x+cosec^2x=sec^2x.csc^2x \)
Solución
Sabemos
\( secx= \displaystyle \frac{1}{cosx} \)  es decir \( sec^2x= \displaystyle \frac{1}{cos^2x} \)

\( cscx= \displaystyle \frac{1}{senx} \)  es decir \( csc^2x= \displaystyle \frac{1}{sen^2x} \)

Reemplazando
\( \displaystyle \frac{1}{cos^2x} +\frac{1}{sen^2x} =sec^2x.csc^2x \)

\( \displaystyle \frac{cos^2x+sen^2x}{cos^2x.sen^2x} =sec^2x.csc^2x \)

\( \displaystyle \frac{1}{cos^2x.sen^2x} =sec^2x.csc^2x \)

\( \displaystyle \frac{1}{cos^2x}.\frac{1}{sen^2x} =sec^2x.csc^2x \)

\( sec^2x.csc^2x =sec^2x.csc^2x \)

8. Demostrar
\( Sen^4x+cos^4x= 1- 2sen^2x.cos^2x \)
Solución
  Sabemos \( sen^2x + cos^2x=1 \) 
elevando al cuadrado
\( (sen^2x+cos^2x)^2 = 1^2 \)
Recuerda \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab +b^2 \)
aplicando
\( (  \underbrace{sen^2x}_{a} )^2 +2\underbrace{sen^2x}_{a}.\underbrace{cos^2x}_{b}+( \underbrace{cos^2x}_{b}   )^2 = 1^2 \)
\( sen^4x +2sen^2x.cos^2x+cos^4x = 1 \)
\( sen^4x +cos^4x = 1- 2sen^2x.cos^2x\)

9. Demostrar 
\( Sen^6x+cos^6x= 1- 3sen^2x.cos^2x \)
Solución
Sabemos \( sen^2x + cos^2x=1 \)
elevando al cubo 
\(   (sen^2x + cos^2x)^3   =  (1)^3 \)
Recuerda \(  (a+b)^3 =  a^3  +3ab(a+b)  +b^3   \)
aplicando
\(     (sen^2x)^3 +3sen^2x.cos^2x ( \underbrace{sen^2x+cos^2x}_{1} )+(cos^2x)^3 = 1^3  \)

\(     sen^6x +3sen^2x.cos^2x +cos^6x = 1 \)

\(     sen^6x +cos^6x =1 – 3sen^2x.cos^2x \)

10. Demostrar que:
\(tan^2x -sen^2x =sen^2x.tan^2x  \)
Solución
\( \displaystyle \frac{sen^2x}{cos^2x} -sen^2x =sen^2x.tan^2x  \)

\(  \displaystyle \frac{sen^2x  -sen^2x . cos^2x }{cos^2x}=sen^2x.tan^2x  \)

\(  \displaystyle \frac{sen^2x(1  -cos^2x) }{cos^2x}=sen^2x.tan^2x  \)

\(  \displaystyle \frac{sen^2x(sen^2x) }{cos^2x}=sen^2x.tan^2x  \)

\(  sen^2x.tan^2x =sen^2x.tan^2x  \)

Problemas con Condición

1. Si \( tanx + cotx  =3 \)
Hallar: senx.cosx
Solución
Por identidades auxiliares \( tanx + cotx =secx.cscx \)
\( \underbrace{tanx + cotx}_{secx.cscx } =3 \)

\( secx.cscx  =3 \)

\( \displaystyle\frac{1}{cosx}.\frac{1}{senx} =3 \)

\( \displaystyle \frac{1}{cosx.senx}=3 \)

invertimos ambos lados de la ecuación
\( cosx.senx =\displaystyle\frac{1}{3}\)   Respuesta

2. Si \( secx + tanx  =3 \)
Calclular: \( secx – tanx  \)
Solución
Sabemos \( sec^2x = 1+tan^2x \)
Entonces  \( sec^2x -tan^2x =1\)
recuerda \( a^2-b^2=(a+b)(a-b) \)
\( ( secx -tanx) \underbrace{(secx+tanx)}_{por dato 3} =1\)

\( ( secx -tanx) 3 =1\)

\(  secx -tanx  = \displaystyle \frac{1}{3}\)

3. Si \( tanx=5 \)
Calcular 
\( C= \displaystyle \frac{senx+cosx}{senx -cosx }\)
Solución
Dividiendo al numerador como al denominador por cosx.

\( C=  \frac{  \quad \displaystyle\frac{senx}{cosx}+\frac{cosx}{cosx} \quad}{ \displaystyle\frac{senx}{cosx} -\frac{cosx}{cosx} } \)

\( C= \displaystyle \frac{ tanx+1}{tanx -1} \)

\( C= \displaystyle \frac{ 5+1}{5-1} =\frac{6}{4}=\frac{3}{2} \)  Respuesta!!

4. Si  \( tanx = a \)
Hallar  \( cos^2x  \)
Solución
Sabemos por identidades pitagóricas
\( sec^2x= tan^2x +1 \)
Por dato tanx = a
\( sec^2x= a^2 +1 \)
Ahora por identidades recíprocas
\( \displaystyle\frac{1}{cos^2}= a^2 +1 \)

\( cos^2x= \displaystyle \frac{1}{a^2+1} \)

[sc name=»adsterra» ][/sc]

Problemas de Eliminación

1. Calcular «y»
\( ysenx=a \)
\( ycosx=b \)
Solución
Elevando al cuadrado
\( (ysenx)^2=(a)^2 \)
\( y^2sen^2x=a^2 \) …(1)

\( (ycosx)^2=(b)^2 \)
\( y^2cos^2x=b^2 \) …(2)
Sumando (1)+(2)
\( y^2sen^2x +y^2cos^2x=a^2 +b^2\)
\( y^2(sen^2x +cos^2x)=a^2 +b^2\)
\( y^2=a^2 +b^2\)

2. Eliminar el ángulo «x»
\( a=senx+cosx \)
\( b=senx-cosx \)
Solución
Elevando al cuadrado
\(  (a)^2=(senx+cosx)^2 \)
\( a^2=1+2senx.cosx \) …(1)
\(  (b)^2=(senx-cosx)^2 \)
\( b^2=1-2senx.cosx \) …(1)
Sumando (1)+(2)
\( a^2+b^2= 1+2sexcosx+1-2senxcosx \)
\( a^2+b^2= 2 \)


[sc name=»adsterra» ][/sc]