Las identidades trigonométricas son aquellas igualdades entre las razones trigonométricas de un ángulo y todos los valores posibles que admite dicho ángulo.
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Recordando:
\(sen^2x=senx.senx\)
\(sen^3x=senx.senx.senx\)
\(cos^5x=cosx.cosx.cosx.cosx.cosx\)
\(tan^4x=tanx.tanx.tanx.tanx \) Así sucesivamente.
También recordando las operaciones
• \(senx + senx= 2senx\)
• \(senx+2senx+3senx=6senx\)
• \( \require{cancel} \displaystyle \frac{sen^2x}{senx}=\frac{\cancel{senx}.senx}{\cancel{senx}}=senx \)
Ahora que recordamos las razones trigonométricas estudiemos las principales identidades trigonométricas. Las cuales son las identidades reciprocas, las identidades de cociente y las identidades pitagóricas.
Identidades Recíprocas
Las identidades recíprocas se refieren a las inversas de las razones trigonométricas de un mismo ángulo.
\( \bbox[10px,border:3px solid blue]
{ cscx=\displaystyle \frac{1}{senx} } \quad \text{obtenemos}
\begin{cases}
senx=\displaystyle\frac{1}{cscx} \\ \\
senx .cscx=1
\end{cases}
\)
\(\bbox[10px,border:3px solid blue]
{secx=\displaystyle \frac{1}{cosx}} \quad \text{obtenemos}
\begin{cases}
cosx=\displaystyle \frac{1}{secx}\\ \\
cosx.secx=1
\end{cases}
\)
\(\bbox[10px,border:3px solid blue]
{tanx=\displaystyle\frac{1}{cotx}} \quad \text{obtenemos}
\begin{cases}
cotx=\displaystyle\frac{1}{tanx}\\ \\
tanx.cotx=1
\end{cases}
\)
Ejemplos:
Veamos la cosecante y su recíproca el seno.
\( \checkmark\)La recíproca de la cosecante es el seno
\(\quad csc20^0=\displaystyle\frac{1}{sen20^o} \)
\( \checkmark\) La recíproca del seno es la cosecante
\( \quad sen20^o=\displaystyle\frac{1}{csc20^0}\)
\( \checkmark\) El producto del seno y su reciproca la cosecante es 1
\( \quad sen20^o.csc20^o=1\)
nota:
\(Si \quad sen\color{blue}\alpha .csc\color{blue}\beta =1 \quad entonces \quad \color{blue}\alpha=\color{blue}\beta\)
Veamos la secante y su recíproca el coseno:
\( \checkmark\) La recíproca de la secante es el coseno
\(\quad sec45^o=\displaystyle\frac{1}{cos45^o}\)
\( \checkmark\) La recíproca del coseno es la secante
\( \quad cos45^o=\displaystyle \frac{1}{sec45^o}\)
\( \checkmark\) El producto del coseno y su recíproca la secante es 1
\( \quad cos45^o.sec45^o=1\)
nota:
\( Si\quad cos \color{blue}\alpha .sec \color{blue}\beta =1\) entonces \( \color{blue}\alpha =\color{blue} \beta\)
Veamos la tangente y su recíproca la cotangente:
\( \checkmark\) La recíproca de la cotangente es la tangente
\( \quad cot30^o=\displaystyle \frac{1}{tan30^0}\)
\( \checkmark\) La recíproca de la tangente es la cotangente
\( \quad tan30^o=\displaystyle\frac{1}{cot30^0}\)
\( \checkmark\) El producto de la tangente y su recíproca la cotangente es 1
\( \quad tan45^o.cot45^o=1\)
nota: Si \(\tan \color{blue}\alpha . cot \color{blue}\beta =1\) entonces \( \color{blue}\alpha = \color{blue}\beta\)
Identidades de Cociente
\( \quad \bbox[10px,border:3px solid blue] {tanx=\displaystyle \frac{senx}{cosx}}\)
\( \quad \bbox[10px,border:3px solid blue] {cotx=\displaystyle \frac{cosx}{senx}}\)
Ejemplos:
\( \checkmark\)\(tan53^o=\displaystyle \frac{sen53^o}{cos53^o}\)
\( \checkmark\)\(cot53^o=\displaystyle\frac{cos53^o}{sen53^o}\)
\( \checkmark\)\(tan45^o=\displaystyle\frac{sen45^o}{cos45^o}\)
\( \checkmark\)\(cot53^o=\displaystyle\frac{cos53^o}{sen53^o}\)
Identidades Pitagóricas
\( \bbox[10px,border:3px solid blue] {sen^2x + cos^2x=1} \quad obtenemos \quad
\begin{cases}
sen^2x=1-cos^2x \\
cos^2x=1-sen^2x
\end{cases} \)
\(\bbox[10px,border:3px solid blue] {1 + tan^2x=sec^2x} \quad obtenemos \quad
\begin{cases}
tan^2x=sec^2x -1 \\
sec^2x-tan^2x = 1
\end{cases}\)
\(\bbox[10px,border:3px solid blue] {1 + cot^2x=csc^2x}\quad obtenemos \quad
\begin{cases}
cot^2x=csc^2x -1 \\
csc^2x-tan^2x = 1
\end{cases}\)
Ejemplos:
Apliquemos la primera identidad pitagórica.
\( \checkmark\)\(sen^230^o+cos^230^o=1\)
\( \checkmark\)\(sen^230^o=1-cos^230^o\)
\( \checkmark\)\(cos^230^o=1-sen^230^o\)
Apliquemos la segunda identidad pitagórica
\( \checkmark\)\(1+tan^245^o=sec^245^o\)
\( \checkmark\)\(tan^245^o=sec^245^o-1\)
\( \checkmark\)\(sec^245^o-tan^245^o=1\)
Apliquemos la tercera identidad pitagórica
\( \checkmark\)\(1+cot^237^o=csc^237^o\)
\( \checkmark\)\(cot^237^o=csc^237^o-1\)
\( \checkmark\)\(csc^237^o-cot^237^o=1\)
Identidades Auxiliares
\(1. \quad tanx+cotx=secx.cscx\)
\(2. \quad sec^2x+csc^2x=sec^2x.csc^2\)
\(3. \quad sen^4x+cos^4x=1-2sen^2x.cos^2x\)
\(4. \quad sen^6x+cos^6x=1-3sen^2x.cos^2x\)
\( 5. \quad (senx+cosx)^2=1+2senx.cosx \)
\( \; \:\quad (senx-cosx)^2=1-2senx.cosx \)
\(6. \quad (1±senx±cosx)^2=2(1±senx)(1±cosx) \)
Tabla de Identidades Trigonométricas
Aquí tenemos un resumen de las principales identidades trigonométricas o fórmulas trigonométricas.
Identidades Recíprocas | Identidades de Cociente | Identidades Pitagóricas |
\(cscx=\displaystyle \frac {1}{senx}\) \(secx=\displaystyle \frac {1}{cosx}\) \(cotx=\displaystyle \frac {1}{tanx}\) |
\( tanx=\displaystyle \frac{senx}{cosx}\)
|
\(sen^2x+cos^2x=1\) \(1+tan^2x=sec^2x\) \(1+cot^2x=csc^2x\) |
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Problemas Resueltos
Para poder resolver nuestros primeros problemas solo basta recordar la tabla de identidades trigonométricas o fórmulas trigonométricas. Iniciaremos con problemas muy elementales.
Simplificación de Identidades Trigonométricas
1. Reducir:
\(M=sen^2x+cos^2x+tan^2x\)
Solución
Recordando la identidad pitagórica
\(sen^2x+cos^2x=1\)
reemplazando
\(M=\underbrace{sen^2x+cos^2x}_{1}+tan^2x\)
\(M=1+tan^2x\)
recordando la identidad pitagórica \(1+tan^2x=sec^2x\)
\(M=sec^2x\)
2. Simplificar:
\(Q=1-sen^2x+cos^2x\)
Solución
Recordando
\(sen^2x+cos^2x=1\)
\(cos^2x=1-sen^2x\)
\(Q=\underbrace{1-sen^2x}_{cos^2x}+cos^2x\)
reemplazando
\(Q=cos^2x+ cos^2x\)
sumando
\(Q=2cos^2x\)
3. Simplificar:
\(M=cosx.tanx+senx\)
Solución
Recordando la identidad de cociente
\(tanx=\displaystyle \frac{senx}{cosx}\)
\(M=cosx.\underbrace{tanx}_{\frac{senx}{cosx}}+senx\)
\( \require{cancel}M=\color{red}{\cancel{\color{black}{cosx}}}.\displaystyle\frac{senx}{\color{red}{\cancel{\color{black}{cosx}}}}+senx\)
\(M=senx+senx\)
\(M=2senx\)
4. Reducir:
\(M=2senx-cosx.tanx\)
Solución
Recordando la identidad de cociente
\(tanx=\displaystyle\frac{senx}{cosx}\)
\(M= 2senx-cosx. \underbrace{tanx}_{\frac{senx}{cosx}}\)
\(M=2senx-\cancel{cosx}.\displaystyle\frac{senx}{\cancel{cosx}}\)
\(M=2senx-senx\)
\(M=senx\)
5. Reducir:
\(Q=\displaystyle \frac{tanx+cotx}{cscx}\)
Solución
Recordando la identidad auxiliar \(tanx+cotx=secx.cscx\)
\(Q=\displaystyle \frac{\overbrace{tanx+cotx}^{secx.cscx}}{cscx}\)
Reemplazando
\(Q=\displaystyle \frac{secx.\cancel{cscx}}{\cancel{cscx}}\)
\(Q=secx \)
6. Simplificar:
\(N=tanx(cotx+tanx)\)
Solución
Recordando la multiplicación \(a(b+c)=a.b+a.c\)
Multiplicando
\( N=tanx.cotx+tanx.tanx \)
\(N=tanx.cotx+tan^2x\)
Recordando la identidad recíproca
\(\displaystyle tanx=\frac {1}{cotx}\) entonces \(tanx.cotx=1\)
\(N=\overbrace{tanx.cotx}^{1}+tan^2x\)
\(N=1+tan^2x\)
Recordando la identidad pitagórica \(1+tan^2x=sec^2x\)
\(N=sec^2x\)
7. Simplificar:
\(E=\displaystyle \frac{1-sen^2x}{cos^2x}+\frac{1-cos^2x}{sen^2x}\)
Solución
Recordando
\(cos^2x=1-sen^2x\)
\(sen^2x=1-cos^2x\)
\(E=\displaystyle\frac{\overbrace{1-sen^2x}^{cos^2x}}{cos^2x}+\frac{\overbrace{1-cos^2x}^{sen^2x}}{sen^2x}\)
\(E=\displaystyle \frac{\cancel{cos^2x}}{\cancel{cos^2x}}+\frac{\cancel{sen^2x}}{\cancel{sen^2x}}\)
\(E=1+1\)
\(E=2\)
8. Simplificar:
\(M=\displaystyle\frac{1+tan^2x}{sec^2x}+\frac{1+cot^2x}{csc^2x}\)
Solución
Recordando
\(1+tan^2x=sec^2x\)
\(1+cot^2x=csc^2x\)
\(M=\displaystyle\frac{\overbrace{1+tan^2x}^{sec^2x}}{sec^2x}+\frac{\overbrace{1+cot^2x}^{csc^2x}}{csc^2x}\)
\(M=\displaystyle\frac{sec^2x}{sec^2x}+\frac{csc^2x}{csc^2x}\)
\(M=1+1\)
\(M=2\)
9. Simplificar:
\(M=sen^2x.cotx\)
Solución
Recordando:
\(cotx=\displaystyle\frac{cosx}{senx}\)
\(M=sen^2x.\underbrace{cotx}_{\frac{cosx}{senx}}\)
\(M=\displaystyle sen^2x.\frac{cosx}{senx}\)
Recuerde \(sen^2x=senx.senx\)
\(M=\displaystyle senx.\cancel{senx}.\frac{cosx}{\cancel{senx}}\)
\(M=senx.cosx\)
10. Simplificar:
\(Q=\displaystyle \frac{tanx+cotx}{secx}\)
solución
Recordando la identidad auxiliar
\(tanx+cotx=secx.cscx\)
\(Q=\displaystyle \frac{\overbrace{tanx+cotx}^{secx.cscx}}{secx}\)
\(Q=\displaystyle \frac{secx.cscx}{secx}=\displaystyle \frac{\cancel{secx}.cscx}{\cancel{secx}}\)
\(Q=cscx\)
11. Simplificar:
\(Q=\displaystyle \frac{1-senx}{cosx}+tanx\)
Solución
Recordando \( \displaystyle tanx=\frac{senx}{cosx}\)
\(Q=\displaystyle \frac{1-senx}{cosx}+\underbrace{tanx}_{\frac{senx}{cosx}}\)
\(Q=\displaystyle \frac{1-senx}{cosx}+\frac{senx}{cosx}\)
\(Q=\displaystyle \frac{1-senx+senx}{cosx}\)
\(Q=\displaystyle \frac{1}{cosx}\)
\(Q=secx\)
12. Simplificar:
\(E= (1+tan^2x)(1-sen^2x)\)
Solución
Recordando
\(E= \underbrace{(1+tan^2x)}_{sec^2x} \underbrace{(1-sen^2x)}_{cos^2x}\)
\(E= sec^2x.cos^2x\)
\(secx.cosx=1\) por identidad recíproca
\( (secx.cosx)^2=(1)^2\) obtenemos \(sec^2x.cos^2x=1\)
\(E=1\)
13. Simplificar:
\(Q=\displaystyle \frac{sen^3x}{1-cos^2x}\)
Solución
\(Q=\displaystyle \frac{sen^3x}{\underbrace{1-cos^2x}_{sen^2x}}\)
\(Q=\displaystyle \frac{sen^3x}{senx^2x}=\frac{\cancel{senx}.\cancel{senx}.senx}{\cancel{senx}.\cancel{senx}}=senx\)
La próxima vez solo haremos
\(Q=\displaystyle \frac{\cancel{sen^3x}}{\cancel{sen^2x}}=senx \)
14. Reducir
\(K= \displaystyle \frac{sec^2x-tan^2x}{secx+tanx} + tanx \)
Solución
Recuerda caracterización \(a^2-b^2 =(a+b)(a-b) \)
Es decir \( sec^2x-tan^2x = (secx+tanx)(secx-tanx) \)
Reemplazando
\( \require{cancel}K= \displaystyle \frac{ \cancel{(secx+tanx)}(secx-tanx)}{ \cancel{secx+tanx}} + tanx \)
\( K = secx-tanx +tanx \)
\( K= secx \)
15. Simplificar:
\(M=\displaystyle \frac{cosx-cos^3x}{senx-sen^3x}\)
Solución
Recuerda factorización \( a-a^3=a(1-a^2) \)
\(M=\displaystyle \frac{cosx(1-cos^2x)}{senx(1-sen^2x)}\)
\(M=\displaystyle \frac{cosx\overbrace{(1-cos^2x)}^{sen^2x}}{senx\underbrace{(1-sen^2x)}_{cos^2x}}\)
\(M=\displaystyle \frac{cosx.sen^2x}{senx.cos^2x}=\frac{\cancel{cosx}.\cancel{senx}.senx}{\cancel{senx}.\cancel{cosx}.cosx}\)
\(M=\displaystyle \frac{senx}{cosx}=tanx\)
16. Reducir la siguiente expresión
\(E=secx.cscx.cos^2x\)
Solución
Ponemos en función de senos y cosenos
\(E=\displaystyle \frac{1}{cosx}.\frac{1}{senx}.cos^2x\)
Simplificamos un coseno del numerador con un cosenos del denominador
\(E=\displaystyle \frac{1}{\cancel{cosx}}.\frac{1}{senx}.\cancel{cos^2x}\)
\(E=\displaystyle \frac{cosx}{senx}\)
\(E=cotx\)
17. Reducir la expresión:
\(M=(secx+1)(secx-1)\)
Solución
Recordando diferencia de cuadrados
\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)
\(M=(secx+1)(secx-1)=(secx)^2-1^2\)
\(M=secx^2-1\)
Recordando \( sec^2x=tan^2x+1\)
Por lo tanto obtenemos \( sec^2x-1= tan^2x \)
\(M=tan^2x\)
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18. Simplificar:
\(E=tanx(cotx + tanx) \)
Solución
Recordando a(b+c)=a.b+a.c
\(E=\underbrace{tanx.cotx}_{1} +\underbrace{tanx. tanx}_{tan^2x}) \)
\(E= 1+tan^2 x\)
\(E=sec^2x \)
19. Reducir la expresión
\(P= \displaystyle \frac{senx-sen^3x}{cosx-cos^3x} \)
Solución
\(P= \displaystyle \frac{senx-senx.sen^2x}{cosx-cosx.cos^2x} \)
Factorizando senx en el numerador y cosx en el denominador
\(P= \displaystyle \frac{senx(1-sen^2x)}{cosx(1–cos^2x)} \)
\(P= \displaystyle \frac{senx.cos^2x}{cosx.sen^2x} \)
\( \require{cancel}P= \displaystyle \frac{\cancel{senx}.\cancel{cosx}.cosx}{\cancel{cosx}.\cancel{senx}.senx} \)
\(P=\displaystyle \frac{cosx}{senx}=cotx\)
20. Reducir
\( M=(tanx +cotx)senx\)
Solución
Poniendo en función de senos y cosenos
\( M=(\displaystyle \frac{senx}{cosx} +\frac{cosx}{senx})senx\)
recordando \( \displaystyle \frac{a}{b}+\frac{c}{d} =\frac{a.d+b.c}{bd}\)
\( M=[\displaystyle \frac{senx.senx+cosx.cosx}{cosx.senx}]senx \)
\( M=\displaystyle [\frac{senx^2x+cosx^2x}{cosx.senx} ]senx\)
\( M=\displaystyle \frac{1}{cosx.senx} .senx\)
\( M=\displaystyle \frac{1}{cosx} =secx\)
21. Reducir
\(N= (1-cos^2x)(1+cot^2x)+(1-sen^2x)(1+tan^2x) \)
Solución
\(N= \underbrace{(1-cos^2x)}_{sen^2x}\underbrace{(1+cot^2x)}_{cosec^2x}+\underbrace{(1-sen^2x)}_{cos^2x}\underbrace{(1+tan^2x) }_{sec^2x}\)
\(N=sen^2x.cosec^2x+cos^2x.sec^2x \)
Por identidades recíprocas \(senx.cosecx=1\) y \(cosx.secx=1\)
Elevando al cuadrado \(sen^2x.cosec^2x=1\) y \(cos^2x.sec^2x=1\)
\(N=1+1=2\)
22. Reducir:
\( C= \displaystyle \frac{tan^2x}{secx-1} -secx \)
Solución
\( \color{#0084d1}{tan^2x = sec^2x -1} \)
reemplazando
\( C= \displaystyle \frac{ ( \color{#0084d1}{ sec^2x -1}) }{secx-1} -secx \)
Recuerda \( a^2 -b^2 = (a+b)(a-b) \)
Es decir \( sec^2x -1 =(secx+1)(secx-1) \)
\( \require{cancel} C= \displaystyle \frac{ (secx+1)\cancel{(secx-1)} }{\cancel{secx-1}} -secx \)
\( C= secx+1 -secx \)
\( C=1 \)
23. Reducir:
\( P= cosx\sqrt{1+cot^2x} \)
Solución
Recuerda \( \color{#0084d1}{1+cot^2x = cosec^2x} \)
\( P= cosx\sqrt{ \color{#0084d1}{cosec^2x} } \)
\( P= cosx.cosecx \)
Recureda \( \displaystyle cosecx =\frac{1}{senx} \)
\( \displaystyle P= cosx \frac{1}{senx} \)
\( \displaystyle P= \frac{cosx}{senx} \)
\( P= tanx \)
24. Simplificar:
I= \(tanx \sqrt{1-sen^2x} \)
Solución
\( I= tanx. \sqrt{cos^2x} \)
\( I= tanx. cosx \)
\( I=\displaystyle\frac{senx}{cosx}.cosx \)
\( I=senx \)
25. Calcular «m»
\( \displaystyle \frac{cosx}{1+senx} + \frac{cosx}{1-senx} = 2m \)
Solución
Recordando \( \displaystyle \frac{a}{b}+\frac{c}{d} =\frac{a.d+b.c}{bd}\)
\( \displaystyle \frac{cosx(1-senx) + cosx(1+senx)}{(1+senx)(1-senx)}=2m \)
\( \displaystyle \frac{ cosx -cosx.senx + cosx +cosx.senx }{1-sen^2x } =2m \)
Reduciendo términos semejantes
\( \displaystyle \frac{2cosx}{cos^2x} =2m \)
\( \displaystyle \frac{2}{cosx}=2m \)
\( 2secx= 2m \)
\( secx=m\)
26. Reducir
\( \displaystyle C= \frac{sen^2x-sen^4x}{cos^2x-cos^4x} \)
Solución
\( \displaystyle C= \frac{sen^2x-sen^2x.sen^2x}{cos^2x-cos^2x.cos^2x} \)
\( \displaystyle C= \frac{sen^2x(1-sen^2x)}{cos^2x(1-cos^2x)} \)
\( \displaystyle C= \frac{sen^2x.cos^2x}{cos^2x.sen^2x} \)
\( C=1 \)
27. Simplificar
\( Q= senx.cosx.tanx +senx.cosx.cotx \)
Solución
\( \displaystyle Q= senx.cosx.\frac{senx}{cosx}+senx.cosx.\frac{cosx}{senx} \)
\( \displaystyle Q= senx.\cancel{cosx}.\frac{senx}{\cancel{cosx}}+\cancel{senx}.cosx.\frac{cosx}{\cancel{senx}} \)
\( Q= senx.senx +cosx.cosx \)
\( Q=sen^2x+cos^2x=1 \)
28. Simplificar
\( M= sen^4x +cos^4x +2sen^2x . cos^2x \)
Solución
Recuerda las identidades auxiliares
\( M= \underbrace{sen^4x +cos^4x}_{1-2sen^2x.cos^2x} +2sen^2x . cos^2x \)
\( M= 1-2sen^2x.cos^2x +2sen^2x . cos^2x \)
\( M= 1\)
29. Reducir
\( P= (1+senx+cosx).\sqrt{ \displaystyle \frac{ (1-senx) }{ (1+cosx) } } \)
Donde «x» pertenece al I Cuadrante
Solución
Recuerda \( (1+senx+cosx)^2 = 2(1+senx)(1+cosx) \)
\( P=\sqrt{ (1+senx+cosx)^2 }.\sqrt{ \displaystyle \frac{ (1-senx) }{ (1+cosx) } } \)
\( P=\sqrt{ 2(1+senx)\cancel{(1+cosx)} }.\sqrt{ \displaystyle \frac{ (1-senx) }{ \cancel{(1+cosx)} } } \)
\( P=\sqrt{ 2(1+senx) (1-senx) } \)
\( P=\sqrt{ 2(1-sen^2x) } \)
\( P=\sqrt{ 2.cos^2x } \)
\( P=\sqrt{ 2}cosx \)
30. Simplificar
\( M= sen^6x +cos^6x +3sen^2x . cos^2x \)
Solución
Recuerda las identidades auxiliares
\( M= \underbrace{sen^6x +cos^6x}_{1-3sen^2x.cos^2x} +2sen^2x . cos^2x \)
\( M= 1-3sen^2x.cos^2x +3sen^2x . cos^2x \)
\( M= 1\)
31. Simplificar
\( R= \sqrt{1+2sena.cosa} \)
Solución
Recuerda \(1= sen^2a+cos^2a \)
\( R= \sqrt{sen^2a+cos^2a+2sena.cosa} \)
\( R= \sqrt{sen^2a+2sena.cosa+cos^2a} \)
\( R= \sqrt{ (sena+cosa)^2} \)
\( R=sena+cosa \)
32. Calcular
\( E= sec^4x-tan^4x -2tan^2x \)
Solución
Por diferencia de cuadrados
\( sec^4x-tan^4x=(sec^2x-tan^2x)(sec^2x+tan^2x) \)
Reemplazamos
\( E=(sec^2x-tan^2x)(sec^2x+tan^2x) -2tan^2x \)
Recuerda \(sec^2x-tan^2x=1 \)
\( E=(sec^2x+tan^2x) -2tan^2x \)
\( E= sec^2x-tan^2x \)
\( E= 1\)
33. Calcular
Si: \(senx=a\) y \( tanx=b \)
\( E= (1-a^2)(1+b^2) \)
Solución
Reemplazando los datos
\( E= (1-sen^2x)(1+tan^2x) \)
\( E= cos^2x. sec^2x \)
\( E=1 \)
[sc name=»adsterra» ][/sc]
Demostraciones de Identidades Trigonométricas
Para demostrar solo vamos a transformar el primer miembro de la igualdad.
1. Demostrar la siguiente identidad.
\( 1 +tan^2x= sec^2x \)
Solución
Solo vamos a transformar el primer miembro
\( 1 +\underbrace{tan^2x}_{\frac{sen^2x}{cos^2x}}= sec^2x \)
\( 1 + \displaystyle \frac{sen^2x}{cos^2x}= sec^2x \)
\( \displaystyle \frac{cos^2x+sen^2x}{cos^2x}= sec^2x \)
Recuerda que \( cos^2x+sen^2x=1 \)
\( \displaystyle \frac{ \quad 1\quad }{cos^2x}= sec^2x \)
\( sec^2x= sec^2x \)
2. Demostrar la siguiente identidad.
\( 1 +cot^2x= csc^2x \)
Solución
Solo vamos a transformar el primer miembro
\( 1 +\underbrace{cot^2x}_{\frac{cos^2x}{sen^2x}}= csc^2x \)
\( 1 + \displaystyle \frac{cos^2x}{sen^2x}= csc^2x \)
\( \displaystyle \frac{sen^2x+cos^2x}{sen^2x}= csc^2x \)
Recuerda que \( sen^2x+cos^2x=1 \)
\( \displaystyle \frac{ \quad 1\quad }{sen^2x}= csc^2x \)
\( csc^2x= csc^2x \)
3. Demostrar
\( 1+\displaystyle \frac{tanx}{cotx}=sec^2x \)
Solución
Poniendo en función de senos y cosenos
\( 1+\frac{\displaystyle \quad \frac{senx}{cosx} \quad }{\displaystyle\frac{cosx}{senx}} =sec^2x \)
Recordando \( \frac{\displaystyle \frac{a}{b} }{\displaystyle \frac{c}{d}} =\displaystyle \frac{a.d}{b.c}\)
\( 1+\displaystyle\frac{senx.senx}{cosx.cosx} =sec^2x \)
\( 1+\displaystyle\frac{sen^2x}{cos^2x}=sec^2x \)
\( 1+tan^2x=sec^2x \)
\( sec^2x=sec^2x \)
4. Demostrar
\( tanx+cotx=secx.cscx \)
Solución
Poniendo en función de senos y cosenos
\( \displaystyle \frac{senx}{cosx}+\frac{cosx}{senx}=secx.cscx \)
recordando \( \displaystyle \frac{a}{b}+\frac{c}{d} =\frac{a.d+b.c}{bd}\)
\( \displaystyle \frac{senx.senx+cosx.cosx}{cosx.senx}=secx.cscx \)
\( \displaystyle \frac{sen^2x+cos^2x}{cosx.senx}=secx.cscx \)
\( \displaystyle \frac{1}{cosx.senx}=secx.cscx \)
\( \displaystyle \frac{1}{cosx}. \frac{1}{senx}=secx.cscx \)
\( secx.cscx=secx.cscx \)
5. Demostrar
\( \displaystyle \frac{1-senx}{cosx}=\frac{cosx}{1+senx} \)
Solución
Multiplicando numerador y denominador por \( (1+senx) \)
\( \displaystyle \frac{(1-senx)\color{green}{(1+senx)}}{cosx\color{green}{(1+senx)}}=\frac{cosx}{1+senx} \)
Recuerda \( (a-b)(a+b)=a^2-b^2 \)
Es decir \( (1-senx)(1+senx)=1-sen^2x \)
Reemplazando
\( \displaystyle \frac{1-sen^2x}{cosx(1+senx)}=\frac{cosx}{1+senx} \)
Recuerda \( 1-sen^2x=cos^2x \)
\( \displaystyle \frac{cos^2x}{cosx(1+senx)}=\frac{cosx}{1+senx} \)
\( \require{cancel} \displaystyle \frac{ \cancel{cosx}.cosx}{ \cancel{cosx}(1+senx)}=\frac{cosx}{1+senx} \)
\( \displaystyle \frac{cosx}{(1+senx)}=\frac{cosx}{1+senx} \)
6. Demostrar
\( \displaystyle \frac{1+cosx}{senx}=\frac{senx}{1-cosx} \)
Solución
Multiplicando numerador y denominador por \( (1-cosx) \)
\( \displaystyle \frac{(1+cosx)\color{green}{(1-cosx)}}{senx \color{green}{(1-cosx)}}=\frac{senx}{1-cosx} \)
Recuerda \( (a-b)(a+b)=a^2-b^2 \)
Es decir \( (1-cosx)(1+cosx)=1-cos^2x \)
Reemplazando
\( \displaystyle \frac{1-cos^2x}{senx(1-cosx)}=\frac{senx}{1-cosx} \)
\( \displaystyle \frac{sen^2x}{senx(1-cosx)}=\frac{senx}{1-cosx} \)
\( \displaystyle \frac{senx}{(1-cosx)}=\frac{senx}{1-cosx} \)
7. Demostrar
\(sec^2x+cosec^2x=sec^2x.csc^2x \)
Solución
Sabemos
\( secx= \displaystyle \frac{1}{cosx} \) es decir \( sec^2x= \displaystyle \frac{1}{cos^2x} \)
\( cscx= \displaystyle \frac{1}{senx} \) es decir \( csc^2x= \displaystyle \frac{1}{sen^2x} \)
Reemplazando
\( \displaystyle \frac{1}{cos^2x} +\frac{1}{sen^2x} =sec^2x.csc^2x \)
\( \displaystyle \frac{cos^2x+sen^2x}{cos^2x.sen^2x} =sec^2x.csc^2x \)
\( \displaystyle \frac{1}{cos^2x.sen^2x} =sec^2x.csc^2x \)
\( \displaystyle \frac{1}{cos^2x}.\frac{1}{sen^2x} =sec^2x.csc^2x \)
\( sec^2x.csc^2x =sec^2x.csc^2x \)
8. Demostrar
\( Sen^4x+cos^4x= 1- 2sen^2x.cos^2x \)
Solución
Sabemos \( sen^2x + cos^2x=1 \)
elevando al cuadrado
\( (sen^2x+cos^2x)^2 = 1^2 \)
Recuerda \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab +b^2 \)
aplicando
\( ( \underbrace{sen^2x}_{a} )^2 +2\underbrace{sen^2x}_{a}.\underbrace{cos^2x}_{b}+( \underbrace{cos^2x}_{b} )^2 = 1^2 \)
\( sen^4x +2sen^2x.cos^2x+cos^4x = 1 \)
\( sen^4x +cos^4x = 1- 2sen^2x.cos^2x\)
9. Demostrar
\( Sen^6x+cos^6x= 1- 3sen^2x.cos^2x \)
Solución
Sabemos \( sen^2x + cos^2x=1 \)
elevando al cubo
\( (sen^2x + cos^2x)^3 = (1)^3 \)
Recuerda \( (a+b)^3 = a^3 +3ab(a+b) +b^3 \)
aplicando
\( (sen^2x)^3 +3sen^2x.cos^2x ( \underbrace{sen^2x+cos^2x}_{1} )+(cos^2x)^3 = 1^3 \)
\( sen^6x +3sen^2x.cos^2x +cos^6x = 1 \)
\( sen^6x +cos^6x =1 – 3sen^2x.cos^2x \)
10. Demostrar que:
\(tan^2x -sen^2x =sen^2x.tan^2x \)
Solución
\( \displaystyle \frac{sen^2x}{cos^2x} -sen^2x =sen^2x.tan^2x \)
\( \displaystyle \frac{sen^2x -sen^2x . cos^2x }{cos^2x}=sen^2x.tan^2x \)
\( \displaystyle \frac{sen^2x(1 -cos^2x) }{cos^2x}=sen^2x.tan^2x \)
\( \displaystyle \frac{sen^2x(sen^2x) }{cos^2x}=sen^2x.tan^2x \)
\( sen^2x.tan^2x =sen^2x.tan^2x \)
Problemas con Condición
1. Si \( tanx + cotx =3 \)
Hallar: senx.cosx
Solución
Por identidades auxiliares \( tanx + cotx =secx.cscx \)
\( \underbrace{tanx + cotx}_{secx.cscx } =3 \)
\( secx.cscx =3 \)
\( \displaystyle\frac{1}{cosx}.\frac{1}{senx} =3 \)
\( \displaystyle \frac{1}{cosx.senx}=3 \)
invertimos ambos lados de la ecuación
\( cosx.senx =\displaystyle\frac{1}{3}\) Respuesta
2. Si \( secx + tanx =3 \)
Calclular: \( secx – tanx \)
Solución
Sabemos \( sec^2x = 1+tan^2x \)
Entonces \( sec^2x -tan^2x =1\)
recuerda \( a^2-b^2=(a+b)(a-b) \)
\( ( secx -tanx) \underbrace{(secx+tanx)}_{por dato 3} =1\)
\( ( secx -tanx) 3 =1\)
\( secx -tanx = \displaystyle \frac{1}{3}\)
3. Si \( tanx=5 \)
Calcular
\( C= \displaystyle \frac{senx+cosx}{senx -cosx }\)
Solución
Dividiendo al numerador como al denominador por cosx.
\( C= \frac{ \quad \displaystyle\frac{senx}{cosx}+\frac{cosx}{cosx} \quad}{ \displaystyle\frac{senx}{cosx} -\frac{cosx}{cosx} } \)
\( C= \displaystyle \frac{ tanx+1}{tanx -1} \)
\( C= \displaystyle \frac{ 5+1}{5-1} =\frac{6}{4}=\frac{3}{2} \) Respuesta!!
4. Si \( tanx = a \)
Hallar \( cos^2x \)
Solución
Sabemos por identidades pitagóricas
\( sec^2x= tan^2x +1 \)
Por dato tanx = a
\( sec^2x= a^2 +1 \)
Ahora por identidades recíprocas
\( \displaystyle\frac{1}{cos^2}= a^2 +1 \)
\( cos^2x= \displaystyle \frac{1}{a^2+1} \)
[sc name=»adsterra» ][/sc]
Problemas de Eliminación
1. Calcular «y»
\( ysenx=a \)
\( ycosx=b \)
Solución
Elevando al cuadrado
\( (ysenx)^2=(a)^2 \)
\( y^2sen^2x=a^2 \) …(1)
\( (ycosx)^2=(b)^2 \)
\( y^2cos^2x=b^2 \) …(2)
Sumando (1)+(2)
\( y^2sen^2x +y^2cos^2x=a^2 +b^2\)
\( y^2(sen^2x +cos^2x)=a^2 +b^2\)
\( y^2=a^2 +b^2\)
2. Eliminar el ángulo «x»
\( a=senx+cosx \)
\( b=senx-cosx \)
Solución
Elevando al cuadrado
\( (a)^2=(senx+cosx)^2 \)
\( a^2=1+2senx.cosx \) …(1)
\( (b)^2=(senx-cosx)^2 \)
\( b^2=1-2senx.cosx \) …(1)
Sumando (1)+(2)
\( a^2+b^2= 1+2sexcosx+1-2senxcosx \)
\( a^2+b^2= 2 \)
[sc name=»adsterra» ][/sc]