Seno de la Suma y Diferencia de Dos Ángulos
\( sen(x+y) = senx.cos y+cosx.sen y\)
\( sen(x – y) = senx .cos y – cosx .sen y\)
Aplicación seno de la suma y diferencia de dos ángulos
• \( sen(α+β)=senα.cosβ+cosα.senβ \)
• \( sen(α+10^o)=senα.cos10^o+cosα.sen10^o \)
• \( sen(30^o+x)=sen30^o.cosx+cos30^o.senx \)
• \( sen(45^o+30^o)=sen45^o.cos30^o+cos45^o.sen30^o \)
• \( sen(2x+3y)=sen2x.cos3y+cos2x.sen3y \)
• \( sen(x+x)=senx.cosx+cosx.senx \)
Entonces \(sen2x= 2senx.cosx \)
• \( sen(α-β)=senα.cosβ-cosα.senβ \)
• \( sen(α-10^o)=senα.cos10^o-cosα.sen10^o \)
• \( sen(30^o-x)=sen30^o.cosx-cos30^o.senx \)
• \( sen(2x-3y)=sen2x.cos3y-cos2x.sen3y \)
• \( sen(45^o-30^o)=sen45^o.cos30^o-cos45^o.sen30^o \)
Coseno de la Suma y Diferencia de dos Ángulos
\( cos(x+y)=cos x .cos y-sen x .sen y \)
\( cos(x-y)=cos x .cos y + sen x .sen y \)
Aplicación coseno de la suma y diferencia de dos ángulos
• \(cos(α+β)=cosα.cosβ – senα.senα \)
• \(cos(α+12^o)=cosα.cos12^o – senα.sen12^o \)
• \(cos(45^o+x)=cos45^o.cosx – sen45^o.senx \)
• \(cos(53^o+37^o)=cos53^o.cos37^o – sen53^o.sen37^o \)
• \(cos(2x+3y)=cos2x.cos3y – sen2x.sen3y \)
• \(cos(x+x)=cosx.cosx – senx.senx \)
Entonces \(cos(2x)=cosx^2 – senx^2 \)
• \(cos(α-β)=cosα.cosβ + senα.senα \)
• \(cos(α-12^o)=cosα.cos12^o +senα.sen12^o \)
• \(cos(45^o-x)=cos45^o.cosx+sen45^o.senx \)
• \(cos(53^o-37^o)=cos53^o.cos37^o +sen53^o.sen37^o \)
• \(cos(2x-3y)=cos2x.cos3y + sen2x.sen3y \)
Tangente de la Suma y Diferencia de dos Ángulos
\( tan( x+y ) = \displaystyle \frac{ tanx + tany }{ 1-tan x \,tan y } \)
\( tan( x-y ) = \displaystyle \frac{ tanx – tany }{ 1+tan x \,tan y } \)
Aplicación tangente de la suma y diferencia de dos ángulos
• \( tan( α+β ) = \displaystyle \frac{ tanα + tanβ }{ 1-tan α \,tan β } \)
• \( tan( α+10^o ) = \displaystyle \frac{ tanα + tan10^o }{ 1-tan α \,tan 10^o } \)
• \( tan( 30^o+x ) = \displaystyle \frac{ tan30^o + tanx }{ 1-tan 30^o \,tan x } \)
• \( tan( 45^o+30 ^o) = \displaystyle \frac{ tan45^o + tan30 ^o }{ 1-tan 45^o \,tan 30 ^o } \)
• \( tan( 2x+3y ) = \displaystyle \frac{ tan2x + tan3y }{ 1-tan 2x \,tan 3y } \)
• \( tan( x+x ) = \displaystyle \frac{ tanx + tanx }{ 1-tan x \,tan x } \)
\( tan( 2x ) = \displaystyle \frac{2 tanx }{ 1-tan x^2x } \)
Ahora veamos la tangente de la diferencia
• \( tan( α-β ) = \displaystyle \frac{ tanα – tanβ }{ 1+tan α \,tan β } \)
• \( tan( α-10^o ) = \displaystyle \frac{ tanα – tan10^o }{ 1+tan α \,tan 10^o } \)
• \( tan( 30^o-x ) = \displaystyle \frac{ tan30^o – tanx }{ 1+tan 30^o \,tan x } \)
• \( tan( 45^o-30 ^o) = \displaystyle \frac{ tan45^o – tan30 ^o }{ 1+tan 45^o \,tan 30 ^o } \)
Cotangente de la Suma y Diferencia de Dos Ángulos
\( cot( x+y ) = \displaystyle \frac{ cotx .coty-1 }{ cotx + coty }\)
\( cot( x-y ) = \displaystyle \frac{ cotx .coty+1 }{ cotx – coty }\)
IDENTIDADES AUXILIARES
• \( sen( x+y).sen( x-y)=sen^2x-sen^2y \)
• \( cos( x+y).cos( x-y)=cos^2x-cos^2y \)
• \( tanx +tany +tanx.tany.tan(x+y)=tan(x+y) \)
• \( tanx -tany -tanx.tany.tan(x-y)=tan(x-y) \)
• \( tanx ± tany= \displaystyle \frac{sen(x±y)}{cosx. cosy} \)
• \( asenx ± bcosx = \sqrt{a^2+b^2 \,}.sen( \theta +x) \)
Donde : \( tan\theta = \displaystyle \frac{ b}{ a}\)
• Si \( P= asenx ± bcosx \)
Entonces
\( Pmáximo = \sqrt{a^2+b^2} \)
\( Pmínimo = -\sqrt{a^2+b^2} \)
Ejercicios Resueltos
1. Calcular sen75o
Solución
\( sen75= sen(45+30) \)
\( sen(45^o+30^o)=sen45^o.cos30^o+cos45^o.sen30^o \)
\( sen75^o=\frac{\sqrt{2}}{2}. \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{1}{2}\)
\( sen75^o= \frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4} \)
2. Calcular sen15o
Solución
\( sen15= sen(45-30) \)
\( sen(45^o-30^o)=sen45^o.cos30^o-cos45^o.sen30^o \)
\( sen15^o=\frac{\sqrt{2}}{2}. \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{1}{2}\)
\( sen15^o= \frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4} \)
3. Reducir
\( P=sen(x+y)-senxcosy \)
Solución
\( sen(x+y)=senx.cosy+cosx.seny \)
Reemplzando
\( P=senx.cosy+cosx.seny -senx.cosy \)
\( \require{cancel} P=\cancel{senx.cosy}+cosx.seny -\cancel{senxcosy} \)
Por lo tanto
\( P=cosx.seny \)
4. Simplificar
\( P=\frac{sen(x+y)-senxcosy}{cosx.cosy} \)
Solución
\( P=\displaystyle\frac{senx.cosy+cosx.seny-senx.cosy}{cosx.cosy} \)
Reduciendo términos semejantes
\( P=\displaystyle\frac{cosx.seny}{cosx.cosy} \)
simplificando
\( P=\displaystyle\frac{seny}{cosy} =tany\)