Seno del Angulo Doble
\[ \bbox[14px,border: 1px solid #0084d1]{sen2x=2\,senx\, cosx} \]
Ejemplos
\( \checkmark\) sen50° = sen2(25)
sen50° = 2sen25°.cos25°
\( \checkmark\) sen80° = sen 2(40°)
sen80° = 2sen40°.cos40°
\( \checkmark\) sen4β =sen 2(2β)
sen4β = 2sen2β .cos2β
Ahora proceda directamente
\( \checkmark\) \( sen6\alpha =2sen3\alpha.cos3\alpha \)
\( \checkmark\) \( sen8\beta=2sen4\beta.cos4\beta\)
\( \checkmark\) \( sen10x=2sen5x.cos5x\)
\( \checkmark\) \( \displaystyle sen\beta=2sen\frac{\beta}{2} cos \frac{\beta}{2} \)
\( \checkmark\) \( \displaystyle sen3\alpha=2sen\frac{3\alpha}{2} cos 3\frac{\alpha}{2} \)
\( \checkmark\) \( sen2(x+y)=2sen(x+y).cos(x+y) \)
También se puede proceder de la forma inversa
\( \checkmark\) 2 sen10°.cos10°=sen2(10°)
2 sen10°.cos10°=sen20°
\( \checkmark\) 2sen5β.cos5β = sen2(5β)
2sen5β.cos5β = sen10β
\( \checkmark\) 2 sen25°.cos25° = sen2(25°)
2 sen25°.cos25° = sen50°
Ahora proceda directamente
\( \checkmark\) \( 2sen3\alpha.cos3\alpha=sen6\alpha \)
\( \checkmark\) \(2sen4xcos4x=sen8x \)
\( \checkmark\) \( 2sen7a.cos7a=sen14a \)
\( \checkmark\) \( 2sen(a+b).cos(a+b)=sen2(a+b) \)
Coseno del Angulo Doble
\[ \bbox[14px,border:1px solid #0084d1]{cos2x= cos^2x -sen^2x } \]De esta fórmula obtenemos 4 fórmulas
• \( cos2x=1-2sen^2x \)
• \( sen2x= 2cos^2x -1 \)
Fórmulas de Degradación
•\( 2sen^2x = 1-cos2x \)
•\( 2cos^2x= 1+cos2x \)
Recuerda
\( cos^2x = cosx .cosx \)
\( sen^2x= senx . senx \)
Ejemplos
• \( cos10^o=cos2(5^o)\)
\( cos10^o= cos^25^o-sen^25^o \)
• \( cos20^o=cos2(10^o) \)
\( cos20^o=cos^210^o-sen^210^o \)
• \( cos30^o= cos2(15^o) \)
\( cos30^o=cos^2{15^o}-sen^2{15^o} \)
Ahora directamente
• \( cos4\alpha=cos^2{2\alpha-sen^2{2\alpha}} \)
• \(cos8=cos^2{4^o}-sen^2{4^o} \)
• \(cos 16=cos^2{8^o}-sen^2{8^o} \)
• \(cos 6\beta=cos^2{3\beta}-sen^23{\beta} \)
También se puede proceder de manera inversa
• \( cos^2{4^o}-sen^2{4^o}= cos2(4^o)=cos8^o \)
• \( cos^2{\theta}-sen^2{\theta}= cos2( \theta) \)
Ahora directamente
• \( cos^2{6^o}-sen^2{6^o}=cos12^o \)
• \( cos^2{25^o}-sen^2{25^o}=cos50^o \)
• \( cos^2{(x+y)}-sen^2{(x+y)}=cos2(x+y) \)
Tangente del Angulo Doble
\[ \bbox[14px,border: 1px solid #0084d1]{ tan2x= \displaystyle \frac{2tanx}{1-tan^2x} } \]
Ejemplos
\( \checkmark\) \( \displaystyle tan20^o=\frac{2tan10^o}{ 1-tan^2{10^o}} \)
\( \checkmark\) \( \displaystyle tan30=\frac{2tan15^o}{ 1-tan^2{15^o}} \)
\( \checkmark\)\( \displaystyle tan4x=\frac{2tan2x}{ 1-tan^2{2x}} \)
\( \checkmark\) \( \displaystyle tan6\theta=\frac{2tan3\theta}{ 1-tan^2{3\theta}} \)
Triángulo del Angulo Doble
El triángulo del ángulo doble se construye a partir de la tangente del ángulo doble
\(tan2x= \displaystyle \frac{2tanx}{1-tan^2x}= \frac{cateto \, \,opuesto}{cateto \,\, adyacente} \)
A partir del triángulo del ángulo doble obtenemos las siguientes fórmulas
• \( sen2x= \displaystyle \frac{2\, tanx}{1+tan^2x} \)
• \( cos2x= \displaystyle \frac{1-tan^2x}{1+tan^2x} \)
• \( sec2x-1= tan2x. tanx \)
• \( sec2x+1= \displaystyle \frac{tan2x}{ tanx} \)
Identidades Auxiliares
• \( tanx +cotx = 2\,csc2x \)
• \( cotx-tanx = 2\,cot2x \)
• \( cotx=csc2x +cot2x \)
• \( tanx=csc2x -cot2x \)
Problemas Resueltos
1. Simplificar
\( C= \displaystyle\frac{sen2x}{2senx} \)
Solución
Aplicando seno del ángulo doble
sen2x=2senx.cosx
\( C= \displaystyle\frac{2senx.cosx}{2senx} \)
simplificando
\( \require{cancel} C= \displaystyle\frac{\cancel{2senx}.cosx}{\cancel{2senx}} \)
\( C= cosx \)
2. Reducir
\( R=\displaystyle \frac{sen6x}{cos3x} \)
Solución
Aplicando el seno del ángulo doble
sen6x=sen2(3x)
sen6x=2 sen3x cos3x reemplazando
\( \require{cancel}R=\displaystyle \frac{2sen3x.\cancel{cos3x}}{\cancel{cos3x}} \)
\( R= 2sen3x \)
3. Simplificar
\( Q= \displaystyle \frac{sen2x}{2senx} + \frac{sen2x}{2cosx} \)
Solución
sen2x=2senx cosx reemplazando
\( Q= \displaystyle \frac{ 2senx.cosx}{ 2senx} + \frac{ 2senx. cosx}{2 cosx} \)
Simplificando
\( Q= cosx +senx \)
4. Reducir:
\( M= tanx.sen2x \)
Solución
Recuerda
\( tanx=\displaystyle \frac{senx}{cosx} \)
\( sen2x=2senx.cosx \)
Entonces reemplazamos
\( M= \displaystyle \frac{senx}{cosx}.2senx.cosx \)
Simplificamos y obtenemos
\( M=2senx.senx \)
\( M= 2sen^2x \)
5. Demostrar
\( cos2x= cosx^4{x}-sen^4(x) \)
Solución
Por coseno del ángulo doble
\(cos2x=cos^2x-sen^2x \)
Multiplicamos por 1
\(cos2x=(cos^2x-sen^2x).1 \)
Recuerda \( 1=cos^2x+sen^2x \)
\(cos2x=(cos^2x-sen^2x).( cos^2x+sen^2x)\)
Por diferencia de cuadrados \((a+b)(a-b)=a^2-b^2 \)
\(cos2x=(cos^2x)^2-(sen^2x)^2 \)
Por lo tanto obtenemos
\( cos2x=cos^4x-sen^4x \)
6. Simplificar
\( M=\displaystyle \frac{sen2x}{1+cos2x} \)
Solución
Recuerda \(sen2x=2senx.cosx \)
Fórmula de degradación
\( 1+cos2x=2cos^2x \)
Reemplazando
\( M=\displaystyle \frac{2senx.cosx}{2cos^2x} \)
\( M=\displaystyle \frac{2senx.cosx}{2cosx.cosx} \)
simplificando
\( M=\displaystyle \frac{senx}{cosx} \)
\( M=tanx \)
7. Simplificar
\( N=\displaystyle \frac{sen2x}{1-cos2x} \)
Solución
Recuerda \(sen2x=2senx.cosx \)
Fórmula de degradación
\(1-cos2x=2sen^2x \)
Reemplazando
\( N=\displaystyle \frac{2senx.cosx}{2sen^2x} \)
Simplificando
\( N=\displaystyle \frac{cosx}{senx} \)
\( N= cotx\)
8. Simplificar
\( M= \displaystyle \frac{1+cos2x}{cotx}\)
Solución
\( M= ( \displaystyle 1+cos2x) .\frac{1}{cotx}\)
\( M= ( 1+cos2x).tanx\)
Recuerda
\( 1+cos2x=2cos^2x \)
\( tanx= \displaystyle \frac{senx}{cosx} \)
Reemplazando
\( M= \displaystyle( 2cos^2x).\frac{senx}{cosx}\)
\( M=2senx.cosx \)
Por lo tanto
\( M=sen2x \)
9. Reducir
\( \displaystyle E= \frac{sen2x + 2senx}{cosx+1} \)
Solución
Recuerda \( sen2x=2senx.cosx \)
\( \displaystyle E= \frac{2senx.cosx + 2senx }{cosx+1} \)
Extrayendo factor común «2senx»
\(\displaystyle E= \frac{2senx(cosx + 1)}{(cosx+1)} \)
Simplificando
\( E=2senx \)
10. Calcular
\( Q=4senx.cosx.cos2x \)
solución
Se descompone 4 en 2 . 2
\( Q=2.\underbrace{2senx.cosx}_{sen2x}.cos2x \)
\( Q=2sen2x.cos2x \)
Otra vez aplicando el seno del ángulo doble
\( Q=sen4x \)
11. Calcular
\( Q=4sen15^o.cos15^o.cos30^o \)
Solución
Descomponemo 4 en 2 . 2
\( Q=2.\underbrace{2sen15^o.cos15^o}_{sen30}.cos30^o \)
\( Q=2.sen30^o.cos30^o \)
Otra vez aplicamoa seno del ángulo doble
\( Q=sen60^o = \frac{ \sqrt{3}}{2}\)
12. Reducir
\( Q= (senx+cosx)^2-1 \)
Solución
Aplicando \( (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \)
\( Q= sen^2x +2senx.cosx+cos^2x-1 \)
Ordenando
\( Q= \underbrace{sen^2x +cos^2x}_{1}+2senx.cosx-1 \)
\( Q= 2senx.cosx\)
\( Q= sen2x\)
13. Reducir
\( P=(senx+cosx+1)(senx+cosx-1) \)
Solución
Agrupando convenientemente
\(P= [(senx+cosx)+1][(senx+cosx)-1] \)
Aplicando \( (a+b)(a-b)= a^2-b^2) \)
\( P= (senx+cosx)^2 -(1)^2 \)
\( P= sen^2x+ 2senx. cosx +cos^2 -1 \)
\( P=\underbrace{sen^2x+cos^2}_{1} +2senxcosx -1 \)
\( P= 2senxcosx \)
\( P= sen2x \)
14. Si : \( senx+cosx = \displaystyle \frac{1}{3} \)
Calcular sen 2x
Solución
Elevando al cuadrado ambos lados
\( (senx+cosx)^2 = ( \displaystyle\frac{1}{3} )^2 \)
Aplicando \( (a+b)^2 = a^2+2ab +b^2 \)
\( sen^2x +2senx.cosx +cos^2x =\displaystyle\frac{1}{9} \)
Ordenamos
\( \underbrace{sen^2x +cos^2x}_{1}+\underbrace{2senx.cosx}_{sen2x} =\displaystyle\frac{1}{9} \)
\( 1+sen2x =\displaystyle\frac{1}{9} \)
\( sen2x = \displaystyle\frac{1}{9} -1 \)
\( sen2x= \displaystyle \frac{-8}{9}\)
15. Si : senx+cosx = n
Calcular sen 2x
Solución
Elevando al cuadrado ambos lados
Aplicando \( (a+b)^2 = a^2+2ab +b^2 \)
\( (senx+cosx)^2 = (n)^2 \)
\( sen^2x +2senx.cosx +cos^2x =n^2 \)
Ordenamos
\( \underbrace{sen^2x +cos^2x}_{1}+\underbrace{2senx.cosx}_{sen2x} =n^2 \)
\( 1+sen2x =n^2 \)
\( sen2x =n^2 -1 \)
16. Si \( tanx=\frac{1}{2} \)
Calcular tan2x
Solución
Aplicando tangente del ángulo doble
\( tan2x= \displaystyle \frac{2tanx}{1-tan^2x} \)
Reemplazando \( tanx=\frac{1}{2} \)
\( tan2x= \displaystyle\frac{2(\frac{1}{2})}{1-( \frac{1}{2})^2} \)
\( tan2x= \displaystyle \frac{4}{3} \)
17. Reducir
\( N= tanx.cos^2x+cotx.sen^2x \)
Solución
\( N= \displaystyle\frac{senx}{cosx}.cos^2x+\frac{cosx}{senx}.sen^2x \)
\( N= \displaystyle\frac{senx}{cosx}.cosx.cosx+\frac{cosx}{senx}.senx.senx \)
\( N= \displaystyle\frac{senx}{ \cancel{cosx}}.\cancel{cosx}.cosx+\frac{cosx}{ \cancel{senx}}. \cancel{senx}.senx \)
\( N= senx.cosx+senx.cosx \)
\( N= 2senx.cosx=sen2x \)
18. Reducir
\( E=4senx.cos^3x-4sen^3x.cosx \)
Solución
\( E=4senx.cosx.cos^2x-4senx.sen^2x.cosx \)
Extraemos factor común 4, senx y cosx
\( E=4senx.cosx(cos^2x-sen^2x) \)
\( E=2.\underbrace{2senx.cosx}_{sen2x} ( \underbrace{cos^2x-sen^2x}_{cos2x} ) \)
\( E= 2.sen2x.cos2x \)
\( E= sen4x\)
19. Reducir
\( M=cosx.cos2x.cos4x \)
Solución
Multiplicando numerador y denominador por 2senx
\( M=\displaystyle\frac{2.senx.cosx.cos2x.cos4x}{2.senx} \)
Aplicando seno del ángulo doble
\( M=\displaystyle\frac{sen2x.cos2x.cos4x}{2senx} \)
Mulitplicando numerador y denominador por 2
\( M=\displaystyle\frac{2.sen2x.cos2x.cos4x}{2.2senx} \)
Aplicando seno del ángulo doble
\( M=\displaystyle\frac{sen4x.cos4x}{2.2senx} \)
Mulitplicando numerador y denominador por 2
\( M=\displaystyle\frac{2.sen4x.cos4x }{2.2.2senx} \)
\( M=\displaystyle\frac{sen8x}{2.2.2senx} \)
20. Demostrar la identidad auxiliar
\( tan\beta +cot\beta=2csc2\beta \)
Solución
Poniendo en función de senos y cosenos
\( \displaystyle \frac{sen\beta }{cos\beta } +\frac{cos\beta}{sen\beta}=2csc2\beta \)
\( \displaystyle \frac{sen^2{\beta} +cos^2{\beta}}{cos{ \beta} .sen{\beta}}=2csc2\beta \)
\( \displaystyle \frac{1}{sen\beta.sen\beta}=2csc2\beta \)
Multiplicando numerador y denominador por 2
\( \displaystyle \frac{2}{2sen\beta.cos\beta}=2.csc2\beta \)
\( \displaystyle \frac{2}{sen2\beta}=2csc2\beta \)
\( 2csc2\beta=2csc2\beta \)