Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado ( MRUV )

¿Qué es el movimiento rectilíneo uniformemente variado?

El movimiento rectilíneo uniformemente variado es aquel cuya trayectoria es una línea recta y su velocidad  siempre esta cambiando de manera uniforme. Es decir en tiempos iguales la velocidad aumenta o disminuye siempre en la misma cantidad.  

– El movimiento es en línea recta.
– La velocidad está siempre cambiando.
– El cambio de velocidad es uniforme (en la figura en cada segundo la velocidad aumenta en 2 m/s)
– En tiempos iguales se recorren distancias diferentes.
– 

¿ Qué es la aceleración (a) ?

Es una magnitud física vectorial que mide el  cambio de la velocidad por unidad de tiempo.   Veamos los siguientes casos.

Movimiento Acelerado

 Por ejemplo un  cuerpo experimenta una aceleración de   10 m/s² es  decir su velocidad aumenta de 10 en 10  por cada segundo.

Nota:
– Cuando acelera la velocidad aumenta 
– La aceleración y la velocidad tienen el mismo sentido 
– En tiempos iguales recorren distancias diferentes

 Movimiento desacelerado
En el siguiente ejemplo un cuerpo desacelera con   5 m/s² esto quiere  decir  que su velocidad disminuye de 5 en 5  por cada segundo que pasa.

Nota:
– Cuando desacelera la velocidad disminuye
– La aceleración y la velocidad tienen sentido  opuestos
– Otra vez en tiempos iguales recorren distancias diferentes.

Entonces para que el movimiento sea MRUV tiene que cambiar la velocidad. La aceleración es la medida del cambio de la velocidad por unidad de tiempo.

Fórmula para calcular la aceleración:

\( a= \cfrac{v_f -v_o}{t}  \)

´Donde:
v_o = velocidad inicial
v_f = velocidad final
t = tiempo
a = aceleración 
d = distancia

Aplicación
Un automóvil se desplaza con una rapidez de 20 m/s y luego de 5 segundos su rapidez es  40 m/s. Determine la aceleración del automóvil.

Datos 
v_o = 20 m/s        t =  5 s
v_f  =  40 m/s       a = ?
Fórmula de la aceleración
\( a= \cfrac{v_f -v_o}{t}  \)
Reemplazando Datos
\( a= \cfrac{40 -20}{5}  \)
  a =  4 m/s²   

Formulas del Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado

Fórmulas MRUV

  (+) cuando acelera. Aumenta su rapidez
        (−) cuando desacelera. Disminuye su rapidez

Ejemplos del Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado

Los siguientes ejemplos son una aplicación directa para aprender a utilizar las fórmulas del MRUV.

1. Un móvil con MRUV aumenta su velocidad de 4 m/s hasta  20 m/s en 8 s. Determine el valor de su aceleración.

Datos
v_o = 4 m/s       t = 8 s
v_f = 20  m/s     a = ?
Aplicando la fórmula del MRUV
\( a = \cfrac{   v_f-v_o   }{t}  \)
Reemplazando datos
\( a = \cfrac{   20 – 4  }{8}  \)
\( a = \cfrac{  16  }{8}  \)
Entonces a = 2 m/s² 

2. Un cuerpo parte con una rapidez de 10 m/s y una aceleración de 5 m/s². Calcular qué distancia recorrerá en los 20 primeros segundos.

Datos
v_o = 10 m/s        t = 20 s
a = 5  m/s²         d = ?
Aplicando ecuación MRUV
\( d = v_ot  \color{red}{\pm}  \frac{1}{2}at \)
Como es acelerado se elige (+)
Remplazando datos
\( d = 10(20)  \color{red}{+}  \frac{1}{2}(5)(20) \)
d = 200 + 50 
d = 250 m 

3. Un automóvil parte desde el reposo con una aceleración de 5 m/s². Determine su rapidez luego  de 8 s.

Datos
v_o = 0      a = 5 m/s²
v_f = ?            t = 8 s
Fórmula del MRUV
v_f  = v_o ± at 
Reemplazando datos
v_f  = 0 + 5x8
v_f  = 0 + 40
v_f  = 40 m/s  Respuesta

4. Un cuerpo parte del reposo con una aceleración de 4 m/s². Calcular qué distancia recorrerá en los 12 primeros segundos.

Datos
Como parte del reposo su velocidad inicial es cero
v_o = 0              t   = 12 s
a = 4  m/s²        d = ?
Ecuación del MRUV
\( d = v_ot  \color{red}{\pm}  \frac{1}{2}at \)
Como es acelerado se elige (+)
Remplazando datos
\( d = (0)(12)  \color{red}{+}  \frac{1}{2}(4)(12) \)
d = 0 + 24
d = 24 m

5. Un móvil es acelerado a razón de 2 m/s² hasta alcanzar una rapidez de 40 m/s luego de 10 s. ¿Cuál fue su rapidez inicial?

Datos
v_o = ?             a = 2 m/s²
v_f = 40 m/s        t = 10 s
Sabemos
v_f  = v_o  ±  at 
Reemplazando datos
40   = v_o  +  2x10
40   = v_o  +  20
40 – 20 = v_o
  v_{o  =} 20 m/s   Respuesta

6. Un móvil empieza su movimiento a partir del reposo con una aceleración de 4 m/s². Determine su rapidez al cabo de 8 s.

Datos
v_o = 0       a = 4 m/s²
v_f = ?             t = 8 s
Aplicando Fórmula MRUV
v_f  = v_o  ±  at 
Remplazando datos
v_f  = 0 + 4x8 
v_f  = 0 + 32
v_f  = 32 m/s  

7. Un móvil parte con una velocidad de 10 m/s y una aceleración de 6 m/s². Calcular el tiempo necesario para que su rapidez sea 40 m/s.

Datos
v_o = 10 m/s     a = 5 m/s²
v_f = 50 m/s             t =  ?
Se sabe
v_f  = v_o ± at 
50  =  10  +  5t
40 = 5t
 \( \cfrac{40}{5} = t \)
t =  8 s   Respuesta

8.  Un móvil que viaja con una velocidad de 40 m/s frena a razón de 10 m/s². ¿Luego de qué tiempo se detiene?

Datos
Como el móvil se detiene velocidad final es cero
v_o = 40 m/s     a = 10 m/s²
v_f = 0                  t =  ?
Aplicando la Ecuación
v_f  = v_o  ±  at 
Como es desacelerado se elige (–)
Reemplazando datos
 0  = 40  –  10t 
 10t = 40
   t =  40/10   
   t =  4 s  Respuesta

9. Un auto que se mueve con MRUV pasa de una rapidez inicial de 20 m/s hasta una rapidez  de 80 m/s  en un tiempo de 5 s. Calcular el espació recorrido.

Datos
v_o = 20 m/s      t = 5 s
v_f  = 80 m/s      d =  ?
Aplicando la Ecuación del MRUV
\( d = (  \frac{  v_o + v_f  }{2} ) t  \)
Reemplazando datos
\( d = (  \frac{  20 + 80  }{2} )5  \)
\( d = (  \frac{  100  }{2} )5  \) = 250 m

10.  Un auto que viaja con una velocidad de 50 m/s frena a razón de 10 m/s². ¿Luego de qué tiempo se detiene?

Datos
v_o = 50 m/s     a = 10 m/s²
v_f = 0                      t =  ?
Aplicando
v_f  = v_o  ±  at 
Movimiento desacelerado se elige (–)
Reemplazando datos
0  = 50  –  10t 
10t = 50
    t =  50/10 
    t =  5 s  Respuesta

Los Números de Galileo

Cuando un móvil parte desde el reposo se cumple que a intervalos de tiempos iguales las distancias recorridas son proporcionales a los números impares que se conocen como números de Galileo.  

Para intervalo de un segundo t= 1s  entonces k= a/2
El 1er segundo  recorre \( 1k = 1.\cfrac{a}{2} \)
El 2do segundo  recorre \( 3k = 3. \cfrac{a}{2} \)
El 3er segundo  recorre \( 5k = 5. \cfrac{a}{2} \)  … así sucesivamente

Caso General 
Distancia recorrida en el enésimo segundo 
 \( d_n = v_o + (2n-1). \cfrac{a}{2} \)

Ejercicios Resueltos de Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado

1.  Un móvil se mueve con aceleración constante de 4 m/s² luego de 6 segundos duplica su velocidad. Calcular la velocidad inicial-
Solución
No conocemos la velocidad inicial le ponemos  «v» y como duplica su velocidad entonces su velocidad final es «2v» 

 

Datos
v_o = v       a = 4 m/s²
v_f = 2v         t = 6 s
Fórmula MRUV
v_f  = v_o  ±  at 
Reemplazando datos
2v = v  +  (4)(6)
2v – v = 24
v =  24 m/s
Entonces v_o = v =24 m/s

2. Un móvil parte del reposo con una aceleración de 2 m/s² . Determine la distancia recorrida en el cuarto segundo.
Solució

Graficando

d₄= distancia para t=4s
d₃ = distancia para t= 3s
x = distancia  en el 4to s.
x = d₄ – d₃
\( x = (  \underbrace{v_o}_{0}t_4 + \cfrac{1}{2} a{t_4}^2 ) – ( \underbrace{v_o}_{0}t_3 + \cfrac{1}{2} a{t_3}^2  ) \)
\(x = \cfrac{1}{2} a{t_4}^2  –   \cfrac{1}{2} a{t_3}^2 \)
\(x = \cfrac{1}{2}. 2{(4)}^2  –   \cfrac{1}{2}. 2{(3)}^2 \)
x = 7 m Respuesta

Aplicando Fórmula
Distancia  en el enésimo segundo        
\( d_n = v_o + (2n-1). \cfrac{a}{2} \) 
n = 4^to segundo     a = 2 m/s²
                    v_o = 0                  d₄ =?                            
\( d_4 = 0 + (2 \text{x}4-1). \cfrac{2}{2} \)
d₄ = 0 + 7×1           
    d = 7 m   Respuesta

 

3. Un automóvil acelera a razón de de 2 m/s² de modo que al cabo de 5 segundos triplica el valor de su velocidad. ¿Qué distancia recorre en ese tiempo?
Solución
En forma análoga al problema anterior, como no conocemos la velocidad inicial le asignamos «v» y como triplica su velocidad entonces su velocidad final es «3v«

Datos
v_o = v       a = 2 m/s²
v_f = 3v         t = 5 s
Fórmula MRUV
v_f  = v_o  ±  at 
Reemplazando datos
3v = v  +  (2)(5)
  v= 5 m/s
v_o= v = 5 ;   v_f =3v = 3×5 = 15
Calculando la distancia
\( d = ( \cfrac{ v_o + v_f   }{2}  )t \)
\( d = ( \cfrac{ 5 + 15   }{2}  ).3 \)
d = 30 m

4. Un móvil duplica su rapidez luego de 4 s recorriendo 120 m. Determine el valor de su aceleración.
Solución

Datos
v_o = v         d = 120 m
v_f = 2v         t = 4 s
Ecuación MRUV
\( d = ( \cfrac{ v_o + v_f   }{2}  )t \)
Reemplazando datos
\( 120 = ( \cfrac{ v + 2v   }{2}  ). 4\)
\( 120 = ( \cfrac{ 3v   }{2}  ). 4\)
v = 20 m/s 
Entonces v₀ =20m/s  y v_f = 40m/s
\( a = \cfrac{   v_f-v_o   }{t}  \)
\( a = \cfrac{   40-20   }{4}  \)
a = 5 m/s²