Estudia como se relacionan las magnitudes fundamentales con las magnitudes derivadas.
Objetivos del análisis dimensional:
1. El análisis dimensional se utiliza para expresar las magnitudes derivadas en función de las fundamentales.
2. Se utiliza para comprobar la veracidad de las ecuaciones físicas.
3. Se emplea para deducir ecuaciones físicas a partir de datos experimentales.
Ecuación Dimensional
El símbolo utilizado para representar una ecuación dimensional son los corchetes [ ]. Dentro del corchete se coloca la letra que simboliza la magnitud física.
Ejemplo:
\(\text {[A]: Se lee la ecuación dimensional de A}\) ó simplemente la dimensión de A
Las ecuaciones dimensionales de magnitudes físicas se representan por letras o símbolos.
Ejemplos:
\(\text { [Longitud] = L; se lee «la ecuación dimensional de la longitud es L»}\)
\(\text {[Masa] = M ; se lee «la ecuación dimensional de la masa es M»}\)
\(\text {[Tiempo] = T ; se lee «la ecuación dimensional del tiempo es T»}\)
\(\text {[Temperatura] = \(\theta\) ; se lee la ecuación dimensional de la temperatura es \(\theta \) }\)
Tabla 1 Fórmulas Dimensionales de las Magnitudes Fundamentales
| Ecuación Dimensional | Representación de la Ecuación Dimensional |
| [Longitud] | L |
| [Masa] | M |
| [Tiempo] | T |
| [Temperatura] | \( \theta \) |
| [Intensidad de corriente] | I |
| [Intensidad Luminiosa] | J |
| [Cantidad de Sustancia] | N |
Propiedades de las Ecuaciones Dimensionales
1. Ecuación dimensional de un producto.
La ecuación dimensional de un producto es el producto de ecuaciones dimensionales.
[AB]=[A][B]
2. Ecuación dimensional de un cociente.
La ecuación dimensional de un cociente es el cociente de ecuaciones dimensionales.
\( \quad [\displaystyle \frac{ A }{ B } ]= \frac {[A]}{[B]}\)
3. Ecuación dimensional de una potencia o raíz
La ecuación dimensional de una potencia es la ecuación dimensional de la base elevada a su exponente.
\( \quad [A^n]=[A]^n \)
La ecuación dimensional de una raíz es la raíz de la ecuación dimensional del radicando.
\( \quad [\sqrt[n]{A}]=\sqrt[n]{[A]} \)
4. Ecuación dimensional de un número o cantidad adimensional
La ecuación dimensional de un número (cantidad sin dimensión) es 1.
[Cantidad adimensional]=1
Ejemplos:
\([45^o]=1\) [ángulo]=1
\(\ [tg30^o]=1 \) [función trigonométrica]=1
\(\ [ log 4]=1\) [logaritmo] =1
\( [\sqrt \pi] =1\) [número]=1
Nota:
\( \checkmark \) Con respecto a la suma y sustracción de dimensiones
Solo puedes sumar o restar cantidades que tienen la misma dimensión por ejemplo:
Longitud mas longitud sigue siendo longitud
\(L+L+L+L=L\)
Longitud menos longitud sigue siendo longitud
\(L-L=L\)
\( \checkmark \) Recuerde que el exponente es un número que no tiene dimensión.
Es decir; la ecuación dimensional del exponente es 1.
\( b^ \frac{x}{y}\) por lo tanto la ecuación dimensional del exponente es uno \( [\frac{x}{y}]=1\)
Principio de Homogeneidad Dimensional
Solo se pueden sumar y restar cantidades que tienen la misma dimensión.
\( A+B+C=D-E\)
Por lo tanto tienen que tener las mismas dimensiones :
\([A]=[B]=[C]=[D]=[E]\)
Ejemplos del análisis dimensional
Vamos a formular las dimensiones de las magnitudes derivadas a partir de las fundamentales aplicando el análisis dimensional.
En estos ejemplos vamos aplicar las ecuaciones dimensionales fundamentales de la Tabla 1.
Ecuación dimensional del área
\( \checkmark \) [Área] = [longitud x Longitud]
[Área] = [longitud][longitud]
\([Área] = L.L= L^2\)
Ecuación dimensional del volumen
\( \checkmark \) [Volumen] = [longitud x longitud x longitud]
[Volumen] = [longitud][longitud][longitud]
\([Volumen] = L.L.L= L^3\)
Ecuación dimensional de la densidad
\( \checkmark \) \([Densidad] =[ \displaystyle\frac{masa}{volumen}]\)
\([Densidad] = \displaystyle \frac{[masa]}{[volumen]}\)
\([Densidad] = \displaystyle \frac{M}{L^3}=ML^{-3} \)
Ecuación dimensional de la velocidad
\( \checkmark \) \( [Velocidad]=[\displaystyle\frac{distancia}{tiempo}]\)
\( [Velocidad]=\displaystyle\frac{[distancia]}{[tiempo]}\)
\( [Velocidad]=\displaystyle\frac{L}{T}=LT^{-1}\)
Ecuación dimensional de la aceleración
\( \checkmark \) \( [Aceleración]=[\displaystyle\frac{velocidad}{tiempo}]\)
\( [Aceleración]=\displaystyle\frac{[velocidad]}{[tiempo]}\)
\( [Aceleración]=\displaystyle\frac{LT^{-1}}{T}=LT^{-2}\)
Ecuación dimensional de la fuerza
\( \checkmark \) [Fuerza]=[masa x aceleración]
[Fuerza]=[masa][aceleración]
\( [Fuerza]=M.LT^{-2}=MLT^{-2} \)
Ecuación dimensional de la Presión
\( \checkmark \) \([Presión] =[ \displaystyle\frac{fuerza}{área}]\)
\([Presión] = \displaystyle \frac{[fuerza]}{[área]}\)
\([Presión] = \displaystyle \frac{ MLT^{-2} }{ L^2 }=\frac{ MT^{-2} }{ L }=ML^{-1}T^{-2} \)
Ecuación dimensional del trabajo
\( \checkmark \) [Trabajo]=[fuerza x distancia]
[Trabajo]=[fuerza][distancia]
\( [Trabajo]=MLT^{-2}.L=ML^2T^{-2} \)
Nota:
Recuerde que la ecuación dimensional del trabajo es igual a la ecuación dimensional de la energía e igual a la ecuación dimensional del calor.
Es decir: \([Trabajo]=[Energía]=[Calor]=ML^2T^{-2} \)
Tabla 2 Fórmulas Dimensionales de las Magnitudes Derivadas
| Magnitud Física | Ecuación Dimensional |
| Área | \( L^2 \) |
| Volumen | \( L^3 \) |
| Densidad | \( ML^{-3 } \) |
| Velocidad | \(LT^{-1}\) |
| Aceleración | \(LT^{-2}\) |
| Fuerza | \(MLT^{-2}\) |
| Presión | \( ML^{-1}T^{-2}\) |
| Trabajo | \( ML^2T^{-2}\) |
| Energía | \( ML^2T^{-2}\) |
| Calor | \( ML^2T^{-2}\) |
Problemas Resueltos de Análisis Dimensional
Para poder resolver problemas es importante memorizar las ecuaciones dimensionales de las principales magnitudes físicas ver tabla 1, tabla 2, el principio de homogeneidad y las observaciones (notas).
NIVEL BÁSICO
1. Hallar la ecuación dimensional de la velocidad angular «ω»
Si se sabe que: \( \omega = \displaystyle \frac{ángulo}{tiempo} \)
Solución
Tomamos ecuación dimensional a ambos lados de la ecuación
\( [\omega] =[ \displaystyle\frac{ángulo}{tiempo}]\)
Recuerde que la ecuación dimensional de un cociente \( [\frac{A}{B}]=\frac{[A]}{[B]}\), ahora aplicamos
\([\omega] = \displaystyle \frac{[ángulo]}{[tiempo]}\)
Sabemos [ángulo]=1 y [tiempo]=T reemplazamos
\([\omega] = \displaystyle \frac{ 1}{ T }=T^{-1} \)
2. Determine la ecuación dimensional de «P»
\(P=mR^2\)
donde:
m=masa
R=longitud
Solución
Aplicamos ecuación dimensional a ambos lados de la ecuación
\([P]=[mR^2]\)
Ahora aplicamos la ecuación dimensional de un producto \([AB]=[A][B]\)
\([P]=[m][R^2]\)
Aplicando la ecuación dimensional de una potencia \([A^n]=[A]^n\)
\([P]=[m][R]^2\)
Reemplazando [m]=[masa]=M y [R]=[longitud]=L
\([P]=ML^2\)
3. Calcule la dimensión de «x»
\( x=(A.B)^4 \)
donde: A=área y B=volumen
Solución
Tomando ecuación dimensional a ambos lados de la ecuación
\( \color{#0693e3}{ [ \color{black}{x}] \color{black}{=} [ \color{black}{(A.B)^4} ] } \)
Aplicando la ecuación dimensional de una potencia \([A^n]=[A]^n\)
\( \color{#0693e3}{ [ \color{black}{x} ] }=( \color{#0693e3}{ [ \color{black}{A.B} ] })^4 \)
Recuerda la ecuación dimensional de un producto \([AB]=[A][B] \)
\( \color{#0693e3}{ [ \color{black}{x} ] } = ( \color{#0693e3}{ [ \color{black}{A} ][ \color{black}{B} ] } )^4 \)
Pero [A]=[área]=\(L^2\) y [B]=[volumen]=\(L^3\)
Reemplazando
\( \color{#0693e3}{ [ \color{black}{x} ] }=(L^2.L^3)^4 \)
\( \color{#0693e3}{ [ \color{black}{x} ] }=(L^5)^4 \)
\( \color{#0693e3}{ [ \color{black}{x} ] }=L^{20} \)
4. Hallar la dimensión de \([S]\)
\(A=\displaystyle\frac{wsenθ}{m(B^2+S)}\)
donde: m=masa ; B=longitud
Solución
Observamos en el denominador \(B^2+S\); para que se puedan sumar tienen que tener las mismas dimensiones
\([S]= [B^2] \)
Aplicando la ecuación dimensional de una potencia \([A^n]=[A]^n\)
\( [S] = [B]^2\)
por dato \( [B]=[longitud]=L \) reemplazando
\( [S] = L^2\) Respuesta.
5. Hallar la ecuación dimensional de la cantidad de movimiento \( «P»\)
\(P=mv\)
donde:
m=masa
v=velocidad
Solución
Aplicamos ecuación dimensional a ambos lados de la ecuación
\([P]=[mv]\)
Recordando la ecuación dimensional de un producto[AB]=[A][B] aplicamos
\([P]=[m][v]\)
Recordando [m]=M: \( [v]=LT^{-1} \) ahora reemplazamos
\( [P]=M.LT^{-1} \)
6. Determinar la ecuación dimensional de «x»
\(Ax+By=C\)
donde: A=volumen ; C=masa
Solución
Aplicando el principio de homogeneidad
\( [Ax]=[By]=[C]\)
Nos conviene igualar
\( [Ax]=[C] \)
ahora aplicamos ecuación dimensional de un producto
\( [A][x]=[C]\)
Por dato A=volumen entonces \( [A]=[volumen]=L^3\)
C=masa entonces \( [C]=[masa]=M\) reemplazamos
\( L^3[x]=M\)
\( [x]=\frac{M}{L^3}=ML^{-3} \)
7. La energía cinética de un cuerpo se define de la siguiente manera:
\(K=\displaystyle\frac{1}{2}mv^2\)
donde: m=masa v=velocidad
Hallar [K]
Solución
\([K]=[\displaystyle\frac{1}{2}mv^2]\)
aplicamos ecuación dimensional de un producto
\([K]=[\displaystyle\frac{1}{2}][m][v^2]\)
aplicamos la ecuación dimensional de una potencia
\([K]=[\displaystyle\frac{1}{2}][m][v]^2\)
Sabemos que \([\frac{1}{2}]=[número]=1\); [m]=[masa]=M
v es velocidad \([v]=[velocidad]= LT^{-1}\) reemplazamos
\([K]=1.M.(LT^{-1})^2\)
\([K]=ML^2T^{-2}\)
8. Hallar la ecuación dimensional del trabajo «W»
W=fuerza x distancia
Hallar [W]
Solución
Aplicamos ecuación dimensional
[W]=[fuerza x distancia]
Aplicamos ecuación dimensional de un producto [AB]=[A][B]
[W]=[fuerza][distancia]
sabemos \([fuerza]=MLT^{-2}\)
\([distancia]=[longitud]=L\)
\([W]=MLT^{-2}.L\)
\([W]=ML^2T^{-2}\) Respuesta
9. Determinar la dimensión de K
\( K=\displaystyle \frac{ a\text{ }sen32^o}{(4-\pi)}\)
donde a=aceleración
Solución
Tomamos ecuación dimensional a ambos lados de la ecuación
\( [K]=[\displaystyle\frac{a\text{ }sen32^o}{(4-\pi)}]\)
aplicamos ecuación dimensional de un cociente, recuerde \([\frac{A}{B}]=\frac{[A]}{[B]}\)
\( [K]=\displaystyle\frac{[a\text{ }sen32^o]}{[(4-\pi)]}\)
en el numerador aplicamos ecuación dimensional de un producto \([AB]=[A][B]\)
\( [K]=\displaystyle\frac{[a][sen32^o]}{[4-\pi]}\)
Por dato [a]=[aceleración]=\(MLT^{-2}\)
\([sen32^o]=[función \quad trigonométrica]=1\)
\( [\underbrace{4-\pi}_{número}]=1\) ahora reemplazamos
\( [K]=\displaystyle \frac{MLT^{-2}.(1)}{(1)}=MLT^{-2}\)
10. Determina la ecuación dimensional de P
\(P=\displaystyle\frac{F}{A}\) donde F=fuerza; A=área
Solución
\([P]=[\displaystyle\frac{F}{A}]\)
\([P]=\displaystyle\frac{[F]}{[A]}\)
sabemos que \([F]=[Fuerza]=MLT^{-2}\)
\([A]=[Area]=L^2\) reemplazamos
\( \require{cancel}[P]=\displaystyle\frac{M \cancel{L}T^{-2}}{\cancel{L^2}}=\frac{MT^{-2}}{L}\)
\([P]=ML^{-1}T^{-2}\)
11. Determinar la ecuación dimensional de E
\(E=mgh\)
donde: m=masa; g=gravedad; h=altura
Solución
\([E]=[mgh]\)
La ecuación dimensional de un producto es e producto de ecuaciones dimensionales
\([E]=[m][g][h]\)
m es masa [m]=M; g es aceleración \([g]=LT^{-2}\); h es altura \([h]=[longitud]=L\)
Reemplazamos
\([E]=M.LT^{-2}.L\)
\([E]=ML^2T^{-2}\) Respuesta.
12. Hallar la ecuación dimensional de «Z» si:
\(RGV=X^{ZV}\)
donde: V=volumen
Solución
Observamos que «ZV» está como exponente
Por lo tanto la ecuación dimensional de un exponente es 1.
\([ZV]=1\)
Aplicamos la ecuación dimensional de un producto \([AB]=[A][B]\)
\([Z][V]=1\)
despejamos
\([Z]=\displaystyle\frac{1}{[V]}\)
V es volumen entonces \([V]=[volumen]=L^3\)
reemplazamos
\([Z]=\displaystyle\frac{1}{L^3}= L^{-3}\) Respuesta
>
13. Dada la siguiente ecuación dimensionalmente correcta.
\(E=Av+Bt^2\)
Calcular \(\displaystyle \frac{[A]}{[B]}\)
donde:
v=volumen
t=tiempo
Solución
Para que \(Av+Bt^2\) se puedan sumar tienen que tener las mismas dimensiones.
\([Av]=[Bt^2]\)
Aplicamos la ecuación dimensional de un producto \([AB]=[A][B]\)
\([A][v]=[B][t^2]\)
Aplicando la ecuación dimensional de una potencia \([A^n]=[A]^n\)
\([A][v]=[B][t]^2\)
Despejando \(\frac{[A]}{[B]} \) que nos piden
\(\displaystyle \frac{[A]}{[B]}=\frac{[t]^2}{[v]}\)
dato t=tiempo y v=volumen
\(\displaystyle \frac{[A]}{[B]}=\frac{T^2}{L^3}=T^2.L^{-3}\)
14. Hallar la ecuación dimensional de «P»
\(P= \sqrt{x^2+y}\)
donde:
x=velocidad
Solución
Tomando ecuación dimensional a ambos lados de la ecuación
\([P]= [\sqrt{x^2+y}]\)
Aplicando ecuación dimensional de una raíz \( [\sqrt[n]{A}]=\sqrt[n]{[A]} \)
\([P]= \sqrt{[x^2+y]} \)
Aplicando el principio de homogeneidad
\( [x^2+y]=[x^2]=[y] \)
Reemplazando
\([P]= \sqrt{[x]^2}\)
\([P]=[x]\)
\([P]=[velocidad]=LT^{-1} \)
15. Si la expresión dada es dimensionalmente correcta. Determine la dimensión de Q.
\( Q=\displaystyle \frac{mx}{\sqrt{x^2-v^2}}\)
donde m=masa
Solución
\( [Q]=\displaystyle [\frac{mx}{\sqrt{x^2-v^2}}]\)
\( [Q]= \displaystyle \frac{[mx]}{[\sqrt{x^2-v^2}]}\)
\( [Q]= \displaystyle \frac{[m][x]}{\sqrt{[x^2-v^2]}}\)
Por el principio de homogeneidad \([x^2-v^2]=[x^2]=[v^2]\)
es decir \([x^2-v^2]=[x]^2=[v]^2\)
\( [Q]=\displaystyle \frac{[m][x]}{\sqrt{[x]^2}}\)
\( [Q]= \displaystyle \frac{[m][x]}{[x]}\)
\( [Q]=[m]=M\)
16. Si la ecuación es dimensionalmente correcta. Hallar x+y
\( D= M^xL^y \)
Donde:
D=densidad
M=masa
L=longitud
Solución
\( [D]=[ M^xL^y] \)
\( [D]=[ M]^x[L^y] \)
Recuerda
\( [D]=[densidad]=ML^{-3} \)
\([M]=[masa]=M \) ; \( [L]=[longitud]=L \)
Reemplazando en
\( [D]=[ M]^x[L]^y \)
\( ML^{-3} =M^xL^y \)
\( M^1L^{-3} =M^xL^y \)
\( x=1 \) y \( y=-3 \)
17. El periodo «T» de un péndulo está dado por la siguiente fórmula
\( T=2\pi L^a g^b \)
Donde:
L=longitud
g=aceleración
Hallar a+b
Solución
Recuerda el periodo «T» es el tiempo de oscilación de un péndulo
Ahora vamos a proceder directamente
\( [T]=[2\pi] [L]^a [g]^b \)
Recuerda
\([T]=[tiempo]=T \) ; \([2 \pi]=[número]=1 \)
\( [L]=[Longitud]=L \) ; \( [g]=[aceleración]=LT^{-2} \)
reemplazando en
\( [T]=[2\pi] [L]^a [g]^b \)
\( T=1. L^a (LT^{-2})^b \)
\( T=L^a L^bT^{-2b} \)
\( T=L^{a+b}T^{-2b} \)
\( T.1=L^{a+b}T^{-2b} \)
\( T^1.L^0=L^{a+b}T^{-2b} \)
\( a+b=0 \) Respuesta.
18. la fuerza de empuje «F» que experimenta un cuerpo sumergido en un líquido esta dado por la siguiente fórmula
\( F= \rho g^x V^y \)
Donde:
\( \rho = densidad \)
g=gravedad
V=volumen
Hallar x+y
Solución
Vamos a proceder directamente
\( [F]= [\rho][ g]^x [V]^y \)
Recuerda Tabla 2
\( [F]=[fuerza]=MLT^{-2} \)
\( [\rho ]= [densidad]=ML^{-3} \)
\( [g]=[aceleración]= LT^{-2} \)
\( [V]=[volulmen]=L^3 \)
Reemplazando
\( [F]= [\rho][ g]^x [V]^y \)
\( MLT^{-2} = ML^{-3}.(LT^{-2})^x .(L^3 )^y \)
\( MLT^{-2} = ML^{-3}.L^xT^{-2x} .L^{3y} \)
\( ML^1T^{-2} = ML^{-3+x+3y}.T^{-2x} \)
igualando exponentes con la T
\( -2x=-2 \)
\( x= \displaystyle \frac{-2}{-2}=1 \)
igualando exponentes con la L
-3+x+3y=1
x+3y=4 reemplazando x=1
1+3y=4
3y=3
y=1 por lo tanto x+y= 1+1=2
19. Determina la fórmula dimensional de A
\( \sqrt{A}=Área \times Velocidad \)
Solución
Tomando ecuación dimensional
\( [ \sqrt{A} ]=[Área \times Velocidad] \)
\( \sqrt{ [A] } =[Área] \times [Velocidad] \)
\( \sqrt{ [A] } =L^2 \times LT^{-1} =L^3 T^{-1} \)
Elevando al cuadrado
\( ( \sqrt{ [A] } )^2 = (L^3 T^{-1} )^2 \)
\( [A] = L^6 T^{-2} \)
20. Determine la fórmula dimensional de Q
\( Q= { V }^{sec60^o} \times { M }^{tan45^o} \)
Donde:
V=volumen
M=masa
Solución
\( [ Q ]= [ { V }^{sec60^o} \times { M }^{tan45^o} ] \)
\( [ Q ]= [ { V }^{sec60^o} ] \times [ { M }^{tan45^o} ] \)
\( [ Q ]= { [V ] }^{sec60^o} \times { [ M ] }^{tan45^o} \)
Recuerda \( [Volumen]=L^3 \) y \( [ Masa ]=M \)
Reemplazando
\( [ Q ]= { ( L^3 ) }^{sec60^o} \times { M }^{tan45^o} \)
Recuerda \( sec60^o =2\) y \( tan45^o=1 \)
\( [ Q ]= { ( L^3 ) }^2 \times { M }^1 \)
\( [ Q ]= L^6 M \)
21. Si la ecuación es dimensionalmente correcta
\( E= \frac{1}{2} Kx^2 \)
Determine la ecuación dimensional de «K»
Donde E=energía y x=longitud
Solución
\( [E= \frac{1}{2} Kx^2 ]\)
\( [E]= [\frac{1}{2} ] [ K ] [x]^2 \)
Recuerda \( [E]=[energia]= ML^2T^{-2} \)
\( [x]=[longitud]=L \) y \( [ \frac{1}{2}]=[número]=1\)
Reemplazando
\( ML^2T^{-2}= 1. [ K ] L^2 \)
\( M\cancel{L^2}T^{-2}= [ K ] \cancel{L^2 } \)
\( MT^{-2}= [ K ] \)
22. La velocidad está en función del tiempo
\( v= Acos( 2\pi Bt ) \)
Determine la ecuación dimensional de «B»
v= velocidad
t=tiempo
Solución
\( v= Acos( \underbrace{2\pi Bt}_{ángulo} ) \)
Recuerda [ángulo]=1
Es decir \( [2\pi Bt]=1 \)
\( [2\pi][ B][t]=1 \)
\( 1.[ B]T=1 \)
\( [ B]T=1 \)
\( [ B]= \displaystyle \frac{1}{T}=T^{-1} \)
23. En la siguiente expresión
\( v= C\,sen(Dt^2 ) \)
Determine la ecuación dimensional de «D»
v= velocidad
t=tiempo
Solución
\( v= Csen(Dt^2 ) \)
\( [Dt^2 ]=1 \)
\( [D][t]^2 =1 \)
\( [D]T^2 =1 \)
\( [ D]= \displaystyle \frac{1}{T^2}=T^{-2} \)
24. Hallar la ecuación dimensional de «D»
\( v=Dt^3 \)
v= velocidad
t=tiempo
Solución
\( [v]=[Dt^3] \)
\( [v]=[D][t]^3 \)
\( LT^{-1}=[D]T^3 \)
\( \displaystyle \frac{ LT^{-1} }{ T^3 } =[D]\)
\( LT^{-1}. T^{-3 } =[D]\)
\( LT^{-4} =[D]\)
25. La expresión es dimensionalmente correcta
\( P= Q^xD^yS^z \)
P=presión
Q=caudal= volumen /tiempo
D= Densidad
S=Área
Hallar x+y+z
Solución
Recuerda \( [P]=[presión]= ML ^{-1}T^{-2} \)
\( [Q]=[caudal]=[ \displaystyle \frac{volumen}{ tiempo} ]=L^3T^{-1} \)
\( [D]=[densidad]=ML^{-3} \)
\( [S]=[Área]=L^2 \)
Reemplazando
\( ML ^{-1}T^{-2}= ( L^3T^{-1} )^x ( ML^{-3} )^y ( L^2 )^z \)
\( ML ^{-1}T^{-2}= L^{3x}T^{-x} . M^yL^{-3y} . L^{2z} \)
\( ML ^{-1}T^{-2}= M^y L^{3x-3y+2z}T^{-x} \)
Igualando bases igules
\( M= M^y \) entonces y=1
\( T^{-2}=T^{-x} \) entonces x=2
\( L ^{-1}= L^{3(2)-3(1)+2z} \) entonces z=–2
Por lo tanto x+y+z=1+2-2=1 Respuesta
26. Hallar la dimensión de «H»
\( H=A .\displaystyle \frac{T}{x} \)
A=área
T=temperatura
x=longitud
Solución
\( [H]=[A] \displaystyle \frac{[T]}{[x]} \)
Recuerda \( [A]=[área]=L^2 \)
\( [T]=[temperatura]= \theta \)
\( [x]=[longitud]=L \) reemplazando
\( [H]=L^2 .\displaystyle \frac{\theta}{L} \)
\( [H]=L \theta\)
27. La ley de gravitación universal esta dada por la siguiete ecuación
\( F= \displaystyle \frac{ Gm_1m_2 }{d^2} \)
Donde
F=fuerza
\( m_1 \) y \( m_2 \) : masas
d=distancias
Calcule la dimensión de G
Solución
\( [F]= \displaystyle [ \frac{ Gm_1m_2 }{d^2} ] \)
\( [F]= \displaystyle \frac{ [ Gm_1m_2] }{ [d^2] } \)
\( [F]= \displaystyle \frac{ [ G][m_1][m_2] }{ [d]^2 } \)
\( \require{cancel} \cancel{M}LT^{-2}= \displaystyle \frac{ [ G] \cancel{M}.M }{ L^2 } \)
\( \displaystyle \frac{ L^3T^{-2} }{ M }= [ G] \)
\( M^{-1}L^3T^{-2} = [ G] \)