Ley de los Gases Ideales

La ley de los gases ideales considera que un gas ideal está formado por partículas  moléculas de volumen insignificante en comparación con el volumen total, además, la atracción intermolecular es ínfima bajo cualquier condición.  Resulta claro que un gas ideal es hipotético, ya que cualquier gas debe contener moléculas que ocupan un volumen definido y ejercen atracciones entre sí. Sin embargo, con frecuencia la influencia de estos factores es insignificante y el gas puede considerarse ideal.

Tabla De Contenido
  1. Leyes de los Gases Ideales
  2. Ecuación Universal de los Gases Ideales
  3. Ejercicios Resueltos

Leyes de los Gases Ideales

Ley de Boyle y Marriote

Para una misma masa de gas a temperatura constante.  El volumen  es inversamente proporcional a la presión. Es decir el producto de la presión por el volumen es una constante.

  \(PV= Constante \)  
P  :   Presión
V :   Volumen
Es decir 
\(P_1V_1= P_2V_2 \)   
P1: presión inicial
V1: volumen inicial		 P2: presión final
V2: volumen final

Ejemplo
Una muestra de gas ocupa 12 L a la presión de 2 atm. ¿Cuál será su volumen si la preión aumenta a 3 atm. si no cambia la temperatura?
Solución
Ordenando los datos

Estado Inicial 
P1= 2 atm
V1= 12 L		 Estado Final
P2= 3 atm.
V2= ?

Proceso a temperatura constante

Aplicando la ley de Boyle
P1V1  =  P2V2   
Reemplazando datos
\(      2\times 12 =3\times V_2 \) 
\(  V_2= \cfrac{2\times12}{3}=8 L\)

 

Ley de Charles

Para una misma masa de gas a presión constante. El volumen es directamente proporcional a la temperatura absoluta. Es decir  el cociente del volumen entre la temperatura es una constante.

  \( \cfrac{V}{T}=Constante \)  
V : Volumen
T : Temperatura en Kelvin
Es decir
\(  \cfrac{V_1}{T_1}= \cfrac{V_2}{T_2} \)
V1: presión inicial
T1: volumen inicial		 V2: presión final
T2: volumen final
La temperatura tiene que estar en Kelvin, si nos dan la temperatura en oC se suma 273 para llevarlo a Kelvin
 \(T(K)= T(^oC)  +273 \)

EJEMPLO
Una muestra de Nitrógeno ocupa 100 mL a 50 oC ¿A qué temperatura ocupará 200 mL si la presión no cambia?
Solución

Estado Inicial
V1= 100 mL
T1 = 50 oC +273 = 323 K 		 Estado Final   
V2 = 200 mL
T2 = ?

Proceso a presión constante

Aplicando la ley de Charles
  \(  \cfrac{V_1}{T_1}= \cfrac{V_2}{T_2} \)
Reemplazando datos		  
  \(  \cfrac{100}{323}= \cfrac{200}{T_2} \)      
   \(  T_2= \cfrac{200 \times 323}{100} =646 K\)    

Ley de Gay Lussac

Para una misma masa de gas a volumen constante. La presion es directamente proporcional a la temperatura absoluta. Es decir el cociente de la presión entre la temperatura es una constante.

  \( \cfrac{P}{T}=Constante\)  
P: Presión
T : Temperatura
Es decir:
\(  \cfrac{P_1}{T_1}= \cfrac{P_2}{T_2} \)
P1: presión inicial
T1: volumen inicial		 P2: presión final
T2: volumen final

La temperatura tiene que estar en Kelvin

EJEMPLO                
Un balón de gas tiene una presión interna de 3 atm. a 27 oC se eleva la temperatura hasta 127 oC . ¿Qué presión alcanzará si el balon no explota?
Solución
Ordenando los datos

Inicial
P1 = 3 atm.
T1 = 27 oC +273 = 300 K 		 Final
P2 = ?
T2 = 127 oC + 273 = 400 K

Proceso a volumen constante

Por la ley de Gay -Lussac

  \(  \cfrac{P_1}{T_1}= \cfrac{P_2}{T_2} \)
Reemplazando datos		  
  \(  \cfrac{3}{300}= \cfrac{P_2}{400} \)  
  \(  P_2= \cfrac{3 \times 400}{300} =4 \,atm\)    

Ley General de los gases Ideales

Ley combinada de los gases porque combina la ley de Boyle, Charles y Gay-Lussac. Se aplica cuando cambia la temperatura, la presion y el volumen pero no cambia la masa del gas.
Entonces 

  \( \cfrac{PV}{T}=Constante\)  
P : Presión
V : Volumen
T : Temperatura en Kelvin

Es decir            \( \cfrac{P_1V_1}{T_1}=\cfrac{P_2V_2}{T_2} \)  

EJEMPLO  
Un globo lleno de un gas ocupa 20 L a 2 atm y 127 oC ¿Cuál es el volumen que ocuparía a 6 atm y 27 oC?
Solución
Ordenando los datos

Estado Inicial
P1 = 2 atm
V1 = 20 L
T1 = 127 oC + 273 = 400 K		 Estado Final
P2 = 6 atm
V2 = ?
T2 = 27 oC + 273 = 300 k
  Ley General de los Gases Ideales   
  \(  \cfrac{P_1V_1}{T_1}= \cfrac{P_2V_2}{T_2} \)
Reemplazando datos		  
  \(  \cfrac{2 \times 20}{400}= \cfrac{6 \times V_2}{300} \)  
  \(  V_2= \cfrac{2 \times 20 \times 300}{400 \times 6} =5 \,L\)  

Estrategia \( \require{cancel} \) 😳 
Solo basta memorizar la ecuación «la ley general de los gases ideales» para obtener las leyes de Boyle, Charles y Gay Lussac

Ley General de los Gases Ideales
\(  \cfrac{P_1.V_1}{T_1} =\cfrac{P_2.V_2}{T_2} \)

Proceso a temperatura constante 
Si la temperatura es constante entonces  T1=T2

\(  \cfrac{P_1.V_1}{ \cancel{T_1}} =\cfrac{P_2.V_2}{ \cancel{T_2}} \)   ⇒   \( \underbrace{ \color{#3366ff}{P_1.V_1=P_2.V_2}}_{ \text{Ley de Boyle}} \)

Proceso a presión constante 
Si la presión es constante entonces P1=P2

\(  \cfrac{ \cancel{P_1}.V_1}{ T_1} =\cfrac{ \cancel{P_2}.V_2}{ T_2} \)   ⇒  \(  \underbrace{ \color{#3366ff}{\cfrac{V_1}{T_1} =\cfrac{V_2}{T_2}} }_{\text{Ley de Charles}}\)

Proceso a volumen constante  
Si la presión es constantes entonces V1=V2
\(  \cfrac{P_1. \cancel{V_1}}{T_1} =\cfrac{P_2. \cancel{V_2}}{T_2} \)   ⇒   \( \underbrace{ \color{#3366ff}{ \cfrac{P_1}{T_1} =\cfrac{P_2}{T_2}}}_{ \text{Ley de Gay-Lussac}} \)

La Ley Combinada con Densidades
                         \( \cfrac{P_1}{T_1.D_1}=\cfrac{P_2}{T_2 .D_2} \)

Ley de Avogadro (Cantidad-Volumen)

A temperatura y presión constante el volumen de un gas es directamente proporcional al número de moles.

  \( \cfrac{V}{n}=Constante\)  
V : Volumen 
n :  Número de moles

Es decir el volumen inicial entre el número de moles iniciales es igual al volumen final entre el número de moles finales        \( \cfrac{V_1}{n_1}=\cfrac{V_2}{n_2} \)  


Ecuación Universal de los Gases Ideales

Es la ecuación que relaciona la presión, volumen, temperatura y el número de moles. 

  \( PV=nRT\)  
P = Presión        T = Temperatura
V =Volumen     n :=Número de moles
\( \text{R = 0,082  atm.L/mol.K   si  P en atm} \)
\( \text{R = 62,4 mmHg.L/mol.K si P en mmHg} \)

Ejemplo
¿Qué volumen ocupa 5 moles de oxígeno (O2) medidos a 27 oC  y 0,41 atm ?
Datos
P = 0,41 atm   entonces   R =  0,082
n = 5 moles
T = 27 oC +273 = 300 K

Ecuación Universal de los Gases Ideales
\( PV=nRT\)
Reemplazando datos
\(0,41 \times V = 5\times 0,082 \times 300 \)
  \( V= \cfrac{5\times 0,082 \times 300}{0,41 } =300 L\)  

Considerando la densidad del gas y la masa molecular

  \(    P \overline{M} = D RT \)  
  \( \overline{M} = \text{ masa molecular }\)
\(D = Densidad (g/L) \)

  

Ejercicios Resueltos

1. A presión constante el volumen de un gas se duplica. Si la temperatura inicial es 27 oC. Calcular la temperatura final.
Solución 
Como el volumen inicial no lo conocemos le asignamos V. El volumen final se duplica entonces es 2V.

Estado Inicial Estado Final
V1 = V
T1 = 27 oC +273 = 300 K		 V2 = 2 V
T2 = ?
  \(  \cfrac{V_1}{T_1}=\cfrac{V_2}{T_2} \)  
  \(  \cfrac{V}{300}=\cfrac{2V }{T_2} \)  
  \( T_2= \cfrac{2 V \times 300}{ V} = 600 K\)  

2. Un gas ocupa un volumen de 10 L a 4 atm. Calcular el  volumen a 5 atm si se mantiene constante la temperatura.
Solución

Inicial Final
V1= 10L
P1= 4 atm		 V2= ?
P2= 5 atm
\(  P_1 \times V_1=P_2 \times V_2 \)
\(  4 \times 10= 5 \times V_2 \)
\( V_2= \cfrac{4 \times 10}{5}= 8 L \)

3. Un gas se encuentra a 600 mmHg y 27 oC . Calcular la presión a 127 oC si se mantiene constante volumen .
Solución

Inicial
P1=600 mmHg
T1= 27 oC +273=300K		 Final
P2= ?
T2= 127 oC +273=400K
\(  \cfrac{P_1}{T_1}=\cfrac{P_2}{T_2} \)
\(  \cfrac{600 }{300}=\cfrac{P_2}{400} \)
\( P_2= \cfrac{600 \times 400}{300} = 800 \, mmHg\)

4. A 0 oC y 5 atm,  una muestra de un gas ocupa 75 L. El gas se comprime hasta un volumen final de 30 L a 0 oC. Cuál es la presió final?
Solución

Inicial
T1 = 0 oC = 273 K
P1 = 5 atm
V1 = 75 L		 Final
T2 = 0 oC = 273 K
P2 = ?
V2 = 30 L
Proceso a temperatura constante 
\( P_1 \times V_1 = P_2 \times V_2 \)
\( 5 \times 75 = P_2 \times 30 \)
\( P_2= \cfrac{5 \times 75}{30} = 12,5 \, atm\)

5. Una muestra de O2 ocupa  360 ml a una presión de 0,750 atm. Si la temperatura permanece constante. ¿Qué volumen ocupará la muestra a 1 atm? 
Solución

Inicial
V1 = 360 ml
P1 = 0,750 atm		 Final
V2 = ?
P2 = 1 atm
Proceso a temperatura constante
\( P_1 \times V_1 = P_2 \times V_2 \)
\( 0,750 \times 360 = 1 \times V_2 \)
\( V_2= \cfrac{0,750 \times 360}{1} = 270 \, ml\)

6. Determinar el volumen que ocupa un gas a condiciones estandar.
Condiciones Estandar  P= 1 atm  T= 0 oC
Solución
P = 1 atm   entonces R=0,082
T = 0 oC +273 = 273 K
n = 1 mol
V= ?

  \( P V = n R T \)
\( 1 \times V = 1 \times 0,082 \times  273 \)
\( V  = 22,4 L  \)		  
Es decir 1 mol de un gas ocupa 22,4 L  a condiciones estandar

7. Determinar el volumen de 4 moles de un gas a 124,8 mmHg y 27 oC.
Solución
P =124,8 mmHg entonces  R=62,4
T = 27 oC + 273 = 300 K
n = 4 moles
V = ?

  \( P V = n R T \)
\( 124,8 \times V =4 \times 62,4 \times  300 \)
\( V  = 600 L  \)		  

8. ¿Cuántas moles de CH4 hay en 45 L a 624 mmHg y 27 oC?
Solución
P = 624 mmHg  entonces  R= 62,4
V= 45 L
T = 27 oC +273 =300 K
n=?

  \( P V = n R T \)
\(624 \times 45 = n \times 62,4 \times 300 \)
\( n= \cfrac{624 \times 45}{62,4 \times 300} = 1,5 moles \)		  

9. ¿Qué volumen ocupará 32 g de metano CH4 a condiciones normales?
Dato: Pesos Atómicos P.A.
P.A.(C) =12
P.A.(H) = 1
Solución
Primero calculamos la masa molecular del metano 
CH4      Tiene 1 átomo de C
             Tiene 4 átomos de H
\( \overline{M }\) =  1xP.A.(C) +4xP.A.(H)
\( \overline{M}\)= 1x12 + 4x1= 16 g/mol
Luego calculamos el numero de moles «n» del gas metano.

\( n= \cfrac{masa}{ \overline{M} } =\cfrac{32}{16}=2\) moles

Si 1 mol de  gas ocupa 22,4 L  en concidiciones normales.
Entonces 2 moles ocupará 2x 22,4L = 44,8 L  en condiciones normales

10. Demostrar la fórmula de la densidad «D» en los gases ideales.
\( P\overline{M}= DRT \)
D = Densidad
Solución
\( PV = nRT \)
\( \text{Reemplazamos } n=\cfrac{ \: m \: }{\overline{M} } \color{white}{\cfrac{ \color{black}{←\text masa}}{ \overline{ \color{black}{← \text{masa molecular}}}}}\)

\( PV = \cfrac{ \;m \; }{ \overline{ M}} .RT  \)
Agrupamos \( \cfrac{m}{V} \) que es la densidad

\( P .\overline{M}= \cfrac{m}{V}.RT\)
Recuerda que masa(m) entre volumen(V) es densidad «D«

\( P.\overline{M}= DRT \) Respuesta.

11. Determinar la densidad del gas CO2 a 27 oC y 0,6 atm.
Pesos Atómicos
P.A.(C) = 12 g/mol
P.A.(O) = 16 g/mol
Solución
Primero se calcula la masa molecular del CO2
La molécula CO2      
        Tiene 1 átomo de C
        Tiene 2 átomos de O
Cálculo de  la masa molecular \( \overline{M} \)
\( \overline{M }\) =  1xP.A.(C) +2xP.A.(O)
\( \overline{M}\)= 1x12 + 2x16= 44 g/mol
Datos:
\( \overline{M} =44 \)
P= 0,6 atm entonces  R= 0,082
T = 27 oC + 273 = 300 K

  \( P \overline{M} =D RT \)
\(  0,6 \times 44 = D \times 0,082 \times 300 \)
\( D= \cfrac{0,6 \times 44}{0,082 \times 300}= 1,07 g/L\)

  

12. Cuántas moles  hay en 89,6 L de gas CO2 en  condiciones normales.
Dato
En condiciones normales C.N. la Presión = 1 atm y la Temperatura = 0 oC 
Solución
Sabemos 1 mol en C.N.  ocupa 22,4 L.
Inicial                       Final
n1 = 1 mol              n2 = ?
V1 = 22,4 L             V2 = 89,6 L
Proceso a presión y temperatura constante

  Por la ley de Avogadro   
  \( \cfrac{n_1}{V_1}= \cfrac{n_2}{V_2} \)

\( n_2= \cfrac{n_1\times V_2}{V_1} \)

\( n_2= \cfrac{1\times 89,6}{22,4} = 4 mol \)