Reparto Proporcional
Consiste en repartir (dividir) una cantidad, en partes proporcionales a ciertos números conocidos como índice de reparto.
¿Qué son los índices de reparto?
Ejemplo una herencia se va a repartir entre tres hermanos cuyas partes son proporcionales a los número 2, 3 y 5 a estos números se les conoce como índice de reparto.
El reparto proporcional es una aplicación de las magnitudes proporcionales . Por lo tanto tenemos reparto proporcional directo y reparto proporcional inverso.
Reparto Simple Directo
Consiste en repartir una cantidad en partes directamente proporcionales a ciertos números .
Observación
Se dice que A,B y C son directamente proporcionales a 2, 3 y 5 entonces por la teoría de proporcionalidad la relación es de cociente y se puede escribir de la siguiente forma
\( \displaystyle\frac{A}{2}=\frac{B}{3}=\frac{C}{5}=K\)
de donde obtenemos igualando
\(\displaystyle\frac{A}{2}=K\) A=2K
\(\displaystyle\frac{B}{3}=K\) B=3K
\(\displaystyle\frac{C}{5}=K\) C=5K
Conclusión
Cuando nos digan que tres números son directamente proporcionales a 2, 3 y 5 entonces podemos escribir directamente
A=2K
B=3K
C=5K
Ejemplos de Reparto Directo
Recuerde D.P. significa directamente proporcional
1. Repartir 300 en partes directamente proporcionales a los números 2, 3 y 5.
Hallar las partes.
Solución
Las tres partes que sean A, B y C directamente proporcional a 2, 3 y 5.
A=2K
B=3K
C=5K
La suma de las partes es igual al total.
\(\color{red}{2}K+\color{red}{3}K+\color{red}{5}K = 300\)
\(10K=300\)
\(K=30\)
Por lo tanto las partes son:
\(A=2K=2\times 30=60\)
\(B=3K=3 \times 30=90\)
\(C=5K=5 \times 30=150\)
2. Repartir 360 en partes directamente proporcional a los números 2, 3 y 4. Dar la mayor parte.
Solución
Sean las partes A, B y C directamente proporcional a 2, 3 y 4.
\(A=2K\)
\(B=3K\)
\(C=4K\)
la suma de las partes es igual al total
\(2K+3K+4K=360\)
\(9K=360\)
\(K=40\)
Piden la mayor parte \(C=4K=4\times 40=160\)
3. Repartir 1200 directamente proporcional a los números 4, 6 y 14. Hallar la menor parte.
Solución
Simplificando los índices de reparto, sacando mitad \( \require{cancel}\color {red} { \cancel { \color{black}{4}}}_2, \color {red} { \cancel { \color{black}{6}}}_3, \color {red} { \cancel { \color{black}{14}}}_7\)
Entonces las partes son D.P. a 2, 3 y 7
\(A=2K\)
\(B=3K\)
\(C=7K\)
\(2K+3K+7K=1200\)
\(12K=1200\)
\(K=100\)
Nos piden la menor parte \(A=2K=2\times 100=200\)
Nota: Es importante simplificar los índices de reparto para que las operaciones sean más sencillas.
4. Repartir 490 en partes directamente proporcional a los números 2, 3, 4 y 5. Hallar la mayor parte.
Solución
Sean las partes A, B, C y D que son D.P. a los números 2, 3, 4 y 5.
\(A=2K\)
\(B=3K\)
\(C=4K\)
\(D=5K\)
la suma de las partes es igual al total
\(2K+3K+4K+5K=490\)
\(14K=490\)
\(K=35\)
Entonces la mayor parte es \(D=5K=5\times 35=175\)
5. Repartir 200 en partes directamente proporcionales a \(2\sqrt{5}\), \( 3\sqrt{5}\) y \(5\sqrt{5}\). Hallar la parte intermedia.
Solución
Simplificando los índices de reparto \(2\cancel{\sqrt{5}}, 3\cancel{\sqrt{5}}\text {y } 5\cancel{\sqrt{5}}\)
Entonces las partes A,B yC son D.P. a 2, 3 y 5
A=2K
B=3K
C=5K
2K+3K+5K=200
10K=200
\(K=\displaystyle\frac{200}{10}=20\)
Piden la parte intermedia \(B=3K=3\times 20=60\)
6. Repartir 400 en partes D.P. a los números 1, 3 y 4. Hallar la parte mayor.
Solución
Sean las partes A, B y C D.P. a 1, 3 y 4
A=K
B=3K
C=4K
K+3K+4K=400
8K=400
\(K=\displaystyle \frac{400}{8}\)
K=50
Piden la parte mayor \(C=4K=4\times 50=200\)
7. Repartir 3600 en partes directamente proporcionales a 0,2 ; 0,3 y 0,4. Indicar la parte menor.
Solución
Recuerda que los índices de reparto se pueden multiplicar o dividir por una misma cantidad.
Multiplicando por 10 los índices de reparto para convertirlos en números enteros
\(0,2\times 10\); \(0,3\times 10\) y \(0,4\times 10\)
Entonces nuestros nuevos índices de reparto son 2, 3 y 4
A=2K
B=3K
C=4K
2K+3K+4K=3600
9K=3600
\(K=\displaystyle\frac{3600}{9}\)
K=400
Piden la parte menor A=2K=2×400=800
8. Repartir 3100 en partes D.P. a \(\displaystyle\frac{1}{2}\), \(\displaystyle\frac{1}{3}\), y \(\displaystyle\frac{1}{5}\). Hallar la parte intermedia.
Solución
Recuerda los índices de reparto se pueden multiplicar por una misma cantidad
Multiplicando por el mínimo común múltiplo de los denominadores \(MCM(2;3;5)=\color{green}{30} \)
\(\displaystyle\frac{1}{2}\times \color{green}{30}\), \(\displaystyle\frac{1}{3}\times \color{green}{30}\), y \(\displaystyle\frac{1}{5}\times \color{green}{30}\)
Operando nos queda 15; 10 y 6
A=15K
B=10K
C=6K
15K + 10K + 6 K = 3100
31K=3100
\(K=\displaystyle\frac{3100}{31}\)
K=100
Piden la parte intermedia B=10K=10×100=1000
Reparto Simple Inverso
Consiste en repartir una cantidad en partes inversamente proporcionales a ciertos números.
Observación
Primero vamos a pasar de inversamente proporcional a directamente proporcional.
Se dice que A, B y C es inversamente proporcional a 3, 4 y 6.
Entonces A, B y C es directamente proporcional a \( \frac{1}{3}, \frac{1}{4} \text{ }y \text{ }\frac{1}{6} \)
Luego multiplicamos las fracciones por el mínimo común múltiplo de los denominadores\(MCM(3,4,6)= \color{green}{12} \) .
Observe el diagrama.
| I.P. | D.P. | |
| A → | 3 | \(\displaystyle\frac{1}{3}\times \color{green}{12}=4\) |
| B → | 4 | \(\displaystyle\frac{1}{4}\times \color{green}{12}=3\) |
| C → | 6 | \(\displaystyle\frac{1}{6}\times \color{green}{12}=2\) |
Por lo tanto las partes son:
A=4K
B=3K
C=2K
Ejemplos de Reparto Inverso
1. Repartir 120 inversamente proporcional a los números 2 y 4. Hallar las parte mayor.
Si A y B son inversamente proporcional a 2 y 4
Entonces A y B es directamente proporcional a \( \frac{1}{2} \text{ }y \text{ } \frac{1}{4} \)
Luego multiplicamos por el \( MCM(2, 4)= \color{green}{4} \)
| I.P. | D.P. | |
| A → | 2 | \(\displaystyle\frac{1}{2}\times \color{green}{4}=2\) |
| B → | 4 | \(\displaystyle\frac{1}{4}\times \color{green}{4}=1\) |
A=2K
B=1K
La suma de las partes igual al total
2K +K=120
3K=120
\(\displaystyle K=\frac {120}{3}=40\)
Piden la parte mayor \(A=2K=2\times 40=80\)
2. Repartir 130 dólares en forma Inversamente proporcional a 2,3 y 4. Calcular la parte intermedia.
Primero vamos a convertir de I.P. a DP. solo invertimos los números.
Luego multiplicamos por el mínimo común múltiplo de los denominadores \( MCM(2,3,4)= \color{green}{12} \).
| I.P. | D.P. | |
| A → | 2 | \(\displaystyle\frac{1}{2}\times \color{green}{12}=6K\) |
| B → | 3 | \(\displaystyle\frac{1}{3}\times \color{green}{12}=4K\) |
| C → | 4 | \(\displaystyle\frac{1}{4}\times \color{green}{12}=3K\) |
\(A=6K\)
\(B=4K\)
\(C=3K\)
\(6K+4K+3K=130\)
\(13K=130\)
\(K=\displaystyle\frac{130}{13}\)
\(K=13\)
Nos piden la parte intermedia
\(B=4K=4×13=52\)
Reparto Compuesto
Consiste en repartir una cantidad en partes inversamente proporcional a ciertos números y a la vez directamente proporcional a otros números.
Obsservación
Se dice que una cantidad es directamente proporcional a 3, 4 y 6 e inversamente proporcional a 2, 3 y 5 respectivamente.
Se pasa de inversa a 2, 3 y 5 en directa a 1/2, 1/3 y 1/5.
También dice que es directa a 3 , 4 y 6.
Se multiplican los índices directamente proporcionales
\(A= \cfrac{1}{2} \times3 = \cfrac{3}{2}K \)
\(A= \cfrac{1}{3} \times 4 = \cfrac{4}{3} K \)
\(A= \cfrac{1}{5} \times 6 = \cfrac{6}{5} K \)
Para convertirlo a enteros se multiplica por el mínimo común múltiplo de los denominadores
MCM(2,3,5)= 30
\( A=\cfrac{3}{2} \times 30 = 45K \)
\( B=\cfrac{4}{3} \times 30 = 40K \)
\( C=\cfrac{6}{5} \times 30 = 36K \)