La regla de tres o también conocida como regla de proporcionalidad es una manera de resolver problemas de proporcionalidad.
Regla de Tres Simple
Es el procedimiento de cálculo que permite hallar un cuarto valor a partir de tres valores correspondientes a dos magnitudes proporcionales.
Regla de Tres Simple Directa
La regla de tres simple directa es el procedimiento para resolver problemas de magnitudes directamente proporcionales y nos permite hallar un cuarto valor a partir de tres valores.
Una forma para determinar si dos magnitudes son directamente proporcionales es cuando una magnitud aumenta la otra magnitud también aumenta. O si una magnitud disminuye la otra también disminuye.
Por ejemplo para construir más casas se necesitan más obreros se observa que las dos magnitudes aumentan entonces podemos decir que casas y obreros son magnitudes directamente proporcionales(D.P.)
También podemos decir: a menos obreros se construirán menos casas, se observa que una magnitud disminuye la otra también disminuye por lo tanto son magnitudes directamente proporcionales (D.P.)
Método Práctico
Casas D.P. Obreros
\(a_1\) \(b_1\)
\(a_2\) \(x\)
Se multiplica en aspa
\(a_1.x=a_2.b_1\)
\(x=\displaystyle\frac{a_2.b_1}{a_1}\)
Observe que el número «\(a_1\)» opuesto a «\(x\)» siempre va en el denominador.
Ejemplos
1. Pepito compra en la tienda 4 libros por 20 soles. ¿Cuanto debe pagar Pepito por 15 libros?
A mas libros mas es el costo. Entonces se observa que las dos magnitudes aumentan.
Por lo tanto son magnitudes directamente proporcionales D.P.
Libros D.P. Costo
4 20
15 x
se multiplica en aspa
\(4.x=15×20\)
\(x=\displaystyle\frac{15×20}{4}=75\)
2. Si 6 obreros construyen 9 casas ¿4 obreros cuántas casas constituirán?
A mas obreros mas casas construirán. Entonces se observa que las dos magnitudes aumentan. Por lo tanto son magnitudes directamente proporcionales D.P.
Obreros D.P. Casas
6 9
4 x
se multiplica en aspa
\(6.x=4×9\)
\(x=\displaystyle\frac{4×9}{6}=6\)
3. Si 4 conejos comen 12 zanahorias ¿ 5 conejos cuantas zanahorias comerán ?
A más conejos pueden comer más zanahorias . Se observa que las dos magnitudes aumentan. En consecuencia son magnitudes directamente proporcionales D.P.
Conejos D.P. Zanahorias
4 12
5 x
se multiplica en aspa
\(4.x=5×12\)
\(x=\displaystyle\frac{5×12}{4}=15\)
4. 6 máquinas producen 210 zapatillas. ¿Cuántas maquinas producirán 70 zapatillas?
A más maquinas producirán más zapatillas.
Por lo que son magnitudes directamente proporcionales D.P
Máquinas D.P. Zapatillas
6 210
x 70
se multiplica en aspa
\(x.210=6×70\)
\(x=\displaystyle\frac{6×70}{210}=2\)
5. Un reloj se retrasa 4 minutos al dia. ¿En cuántos días estará retrasado 1 hora?
En 1 dia se retrasa 4 minutos, en 2 dias se retrasa 8 minutos es decir a más días se retrasa más minutos. Por lo tanto son magnitudes directamente proporcionales.
Recuerda 1 hora = 60 minutos
Minutos D.P. Días
4 1
60 x
se multiplica en aspa
\(4.x=60×1\)
\(x=\displaystyle\frac{60×1}{4}=15 días\)
6. De 60 litros de agua de mar se obtiene 3 kg. de sal. ¿Cuantos litros de agua de mar se necesita para obtener 5 kg. de sal?
A más litros de agua de mar se obtiene más kg. de sal.
Por lo tanto son magnitudes D.P.
Litros D.P. Kg.
60 3
x 5
se multiplica en aspa
\(x.3=60×5\)
\(x=\displaystyle\frac{60×5}{3}=100\)
Regla de Tres Simple Inversa
La regla de tres simple inversa es el procedimiento para resolver problemas de magnitudes inversamente proporcionales y nos permite hallar un cuarto valor a partir de tres valores.
Una forma para determinar si dos magnitudes son inversamente proporcionales es cuando una magnitud aumenta la otra magnitud disminuye o viceversa si una disminuye la otra aumenta.
Por ejemplo más obreros necesitan menos tiempo para realizar una obra. Se observa que una magnitud aumenta, la otra disminuye. Entonces podemos decir que obreros y tiempo son magnitudes inversamente proporcionales(I.P.)
Método Práctico
Obreros I.P. Tiempo
a1 
b1
a2 x
Se multiplica horizontal
\(a_2.x=a_1.b_1\)
\(x=\displaystyle\frac{a_1.b_1}{a_2}\)
Ejemplos
1. 4 albañiles hacen una obra en 15 días. ¿ En cuantos días pueden hacer la obra 6 albañiles?
Se puede afirmar a más albañiles se necesitan menos días.
Se observa que una magnitud aumenta y la otra disminuye.
Por lo tanto son magnitudes directamente proporcionales D.P.
Albañiles I.P. Tiempo
4 15
6 x
se multiplica horizontalmente
\(6.x=4×15\)
\(x=\displaystyle\frac{4×15}{6}=10\)
2. 20 conejos tienen zanahorias para 12 dias. Si fueran 6 conejos para cuantos días tendrán zanahorias?
Se observa a mas conejos menos días les durara las zanahorias
Se observa que una magnitud aumenta y la otra disminuye.
En consecuencia son magnitudes I.P.
Conejos I.P. Días
20 12
6 x
se multiplica horizontalmente
\(6.x=20×12\)
\(x=\displaystyle\frac{20×12}{6}=40\)
3. Pedro hace su tarea en 4 horas. ¿En cuanto tiempo hace su tarea si duplica su eficiencia?
A más eficiencia va emplear menos tiempo en hacer su tarea.
Se observa que una magnitud aumenta y la otra disminuye.
Entonces podemos deicr que son magnitudes I.P.
Eficiencia I.P. Tiempo
1 4h
2 x
se multiplica horizontalmente
\(2.x=1×4\)
\(x=\displaystyle\frac{1×4}{2}=2\)
4. Manuel es el triple de eficiente que José. Si Manuel hace una obra en 6 horas. ¿En cuantas horas harán la misma obra trabajando los dos juntos?
A mas eficiencia va a emplear menos tiempo en hacer la obra.
Se observa que una magnitud aumenta y la otra disminuye.
Por lo que son magnitudes I.P.
Eficiencia de José=1
Manuel es el triple de eficiente que José=3×1=3
Eficiencia de Manuel más José=3+1=4
se multiplica horizontalmente
\(4.x=3×8\)
\(x=\displaystyle\frac{3×8}{4}=6\)
5. Juan va al colegio temprano, y llega en 40 minutos. Hoy Juan se quedó dormido y duplica su velocidad para no llegar tarde. ¿En cuánto tiempo llegará al colegio?
A más velocidad menos tiempo empleará en llegar al colegio.
Se observa que una magnitud aumenta y la otra disminuye.
En consecuencia son magnitudes I.P.
La velocidad de Juan le ponemos «v» y si duplica su velocidad será «2v»
Velocidad I.P. Tiempo
v 40
2v x
se multiplica horizontalmente
\(2v.x=v.40\)
\(x=\displaystyle\frac{v.40}{2v}=20\)
6. En un circo: 5 leones tienen comida para 21 días, pero llegan 2 leones más al circo. ¿Para cuántos días alcanzará la comida de los leones?
A más leones menos tiempo alcanzará la comida.
Si una magnitud aumenta y la otra disminuye.
Por lo tanto son magnitudes I.P.
Leones I.P. Días
5 21
(5+2) x
se multiplica horizontalmente
\((5+2).x=5×21\)
\(7.x=5×21\)
\(x=\displaystyle\frac{5×21}{7}=15\)
Regla de Tres Compuesta
Esta regla de tres simples se emplea para resolver problemas de proporcionalidad de tres o más magnitudes. Se dice regla de tres compuesta porque emplea varias reglas de tres simples.
Por lo tanto vamos aplicar la proporcionalidad directa y la proporcionalidad inversa.
Ejemplos
1. Si 8 obreros en 4 días construyen una casa. ¿En cuántos días 2 obreros construirán 3 casas ?
A más obreros se necesita menos días. Entonces obreros y días son I.P.
A más casas se necesitará mas días. Por lo que casas y días son D.P
Se multiplica siguiendo la linea 2 . x . 1 se iguala a la otra linea 8 . 4 . 3
\(2.x.1=8.4.3\)
\(x=\displaystyle\frac{8.4.3}{2.1}=48\)
2. Cinco carpinteros fabrican 15 carpetas en 5 días. ¿Dos carpinteros en cuantos días fabricarán 10 carpetas?
A más carpinteros más carpetas fabricarán.
Por lo tanto carpinteros y carpetas son magnitudes D.P. (aspa)
A más carpetas más días se necesitarán.
Entonces carpetas y días son magnitude D.P. (aspa) \(
Carpinteros D.P. Carpetas D.P. Días
5 15 6
2 10 x
Se multiplica siguiendo la linea 2 . 15 . x se iguala a la otra linea 5 . 10 . 6
\(2.15.x=5.10.6\)
\(x=\displaystyle\frac{5.10.6}{2.15}=10\)
En forma práctica la linea de números que no contiene la variable «x», va en el numerador, los otros números en el denominador.
3. Si 10 obreros pueden hacer una casa en doce días. ¿Cuántos obreros podrán hacer tres casas en 10 días?
A más obreros se construirán más casas. Entonces obreros y casas son D.P.
A más casas se necesitará mas días. Por lo que casas y días son D.P
Obreros D.P. Casas D.P. Días
10 1 12
x 3 10
Se multiplica siguiendo la linea x . 1 . 10 se iguala a la otra linea 10 . 13 . 12
\(x.1.10=10.3.12\)
\(x=\displaystyle\frac{10.3.12}{1.10}=36\)