Magnitud es todo aquello que puede ser medido o comparado. Como ejemplo de magnitudes tenemos el número de obreros, número de lápices, la velocidad, el tiempo , la eficiencia, número de libros, el peso, la temperatura, etc.
La proporcionalidad es la relación entre las magnitudes. Si la relación de dos magnitudes es de cociente se dice que son magnitudes directamente proporcionales (D.P.). Pero si la relación entre dos magnitudes es de producto se dice que son magnitudes inversamente proporcionales (I.P.).
Proporcionalidad Directa
Las magnitudes de proporcionalidad directa son también conocidas como magnitudes directamente proporcionales D.P.
Se dice que dos magnitudes son de proporcionalidad directa cuando al comparar las dos magnitudes, el cociente de las dos magnitudes es constante. Esto quiere decir si «una magnitud aumenta, la otra también aumenta» o si «una disminuye la otra también disminuye«.
Si A es D.P. a B entonces \( \displaystyle \frac{A}{B}=K (constante)\)
Es decir \( \displaystyle \frac{A_1}{B_1}=\frac{A_2}{B_2}\)
Por ejemplo
Si 6 obreros construyen 3 casas, entonces más obreros construirán más casas; la relación entre obreros y casas es de proporcionalidad directa, es decir su cociente es constante.
\(\displaystyle\frac{6\,obreros}{3 \, casas}=\frac{12 \, obreros}{6 \,casas}=\frac{18\,obreros}{ 9 \, casas} =2 = constante\)
Gráfico de Proporcionalidad Directa
Ejemplo un niño quiere comprar lápices en una librería y obtuvo el siguiente resultado
| Costo $ | 10 | 20 | 30 |
| N° Lápices | 2 | 4 | 6 |
Se observa que el cociente entre Costo y el N° Lápices es constante.
\(\displaystyle\frac{Costo}{N° Lápices}=\frac{10}{2}=\frac{20}{4}=\frac{30}{6}=5=constante\)
Graficando y uniendo los puntos
Se observa que la gráfica es una linea recta
Recuerde D.P. significa directamente proporcional. También es utilizado el símbolo alfa «\(\alpha\)» , para indicar que es D.P.
Ejemplos
1. Si «A» es D.P. a «B»; además cuando A=4, entonces B=8 .
Hallar «A», cuando B=2.
Solución
Se sabe «A» es D.P. a «B» entonces el cociente es una constante\( \displaystyle \frac{A}{B}=constante\)
es decir \( \displaystyle \frac{A_1}{B_1}=\frac{A_2}{B_2}\)
\(A_1=4, B_1=8\)
\(A_2=x\)(incógnita), \(B_2=2\)
Reemplazando
\( \displaystyle \frac{4}{8}= \frac{x}{2} \)
\( \displaystyle \frac{4×2}{8}= x\)
\( \displaystyle \frac{8}{8}= x\)
\( 1= x\)
2. ¿Cuál es la relación entre las siguientes magnitudes?
Si A es D.P. a \(B^2\)
Solución
Si A es directamente proporcional a \(B^2\) entonces su cociente es una constante
\( \displaystyle \frac{A}{B^2}=constante\)
Es decir: \( \displaystyle \frac{A_1}{{B_1}^2}=\frac{A_2}{{B_2}^2}\)
3. Se conoce que la magnitud «A» es D.P. a \( \sqrt{B}\) Si cuando A = 5, entonces B =4.
Calcular «A», cuando B = 16.
Solución
«A» es D.P. a «\(\sqrt{B}\)» entonces el cociente\( \displaystyle \frac{A}{\sqrt{B}}=constante\)
es decir \( \displaystyle \frac{A_1}{\sqrt{B_1}}=\frac{A_2}{\sqrt{B_2}}\)
\(A_1=5, B_1=4\)
\(A_2=x\)(incógnita), \(B_2=16\)
Reemplazando
\( \displaystyle \frac{5}{\sqrt{4}}= \frac{x}{\sqrt{16}} \)
\( \displaystyle \frac{5}{2}= \frac{x}{4} \)
\( \displaystyle \frac{5×4}{2}= x\)
\(10=x\)
4. Si 7 obreros construyen 3 casas. ¿Cuántos obreros se necesitan para construir 9 casas?
Solución
A más obreros construirán más casas entonces son D.P. el cociente es constante
\( \displaystyle\frac{obreros}{casas}=K(constante)\)
Es decir \(\displaystyle\frac{obreros_1}{casas_1}=\frac{obreros_2}{casas_2}\)
\(obreros_1=7\) ; \(casas_1\)=3
\(obreros_2=x\) ; \(casas_2\)=9
\(\displaystyle\frac{7}{3}=\frac{x}{9}\)
se multiplica en aspa
\( 7\times 9=3 \times x \)
\( \displaystyle\frac{7\times 9}{3}=x\)
\(21=x\)
Proporcionalidad Inversa
Las magnitudes de proporcionalidad inversa son también conocidas como magnitudes inversamente proporcionales I.P.
Dos magnitudes son de proporcionalidad inversa cuando al comparar las magnitudes, el producto de las dos magnitudes es constante es decir, si una magnitud aumenta la otra disminuye o viceversa si una disminuye la otra aumenta.
Si A es I.P. a B entonces \( A\times B=K (constante)\)
Es decir \( A_1\times B_1=A_2 \times B_2\)
Por ejemplo
Tenemos que 2 obreros construyen una casa en 6 días, entonces más obreros lo construirán en menos días. la relación entre la magnitud obreros y la magnitud días es de proporcionalidad inversa, es decir su producto es constante.
\(2 \,obreros\times 6\, días=4 \,obreros\times \,3 días=6 \,obreros\times 2\, días=12(constante) \)
Gráfico de Proporcionalidad Inversa
Del ejemplo de los 2 obreros que construyen una casa en 6 días; tabulando el resultado.
| N° Obreros | 2 | 4 | 6 |
| N° Días | 6 | 3 | 2 |
Se observa que el producto entre obreros y días es constante e igual a 12.
\(2\, obreros\times 6 \,días=4 \,obreros\times 3 \,días=6 \,obreros\times 2\, días=12(constante) \)
Graficando y uniendo los puntos
Se observa que la gráfica es una hipérbola.
Recuerde I.P. significa inversamente proporcional. También es utilizado el símbolo \(\displaystyle\frac{1}{\alpha}\) , para indicar que es I.P.
Ejemplos
Recuerda cuando dos magnitudes son I.P. se expresa como un producto.
1. Si «A» es I.P. a «B»; además cuando A=3, entonces B=4 .
Hallar «A», cuando B=6.
Solución
Si «A» es I.P. a «B» entonces el producto\(A \times B=constante\)
Es decir: \(A_1 \times B_1=A_2 \times B_2\)
\(A_1=3, B_1=4 \)
\(A_2=x\)(incógnita), \(B_2=6\)
Reemplazando
\(3 \times 4=x \times 6\)
\( \displaystyle\frac{3 \times 4}{6}=x\)
\( \displaystyle\frac{12}{6}=x\)
\(2=x\)
2. ¿Cuál es la relación entre las siguientes magnitudes?
Si A es I.P. a \(B^2\)
Solución
Si A es inversamente proporcional a \(B^2\) entonces su producto es una constante.
\(A\times B^2=constante\)
Es decir: \(A_1\times B_1^2=A_2\times B_2^2\)
3. Se conoce que la magnitud «A» es I.P. a \( \sqrt{B}\) Si cuando A = 6, entonces B =25.
Hallar «A», cuando B = 9.
Solución
Si «A» es I.P. a «\sqrt{B}» entonces el producto\(A \times \sqrt{B}=constante\)
Es decir: \(A_1 \times \sqrt{B_1}=A \times \sqrt{B_2}\)
\(A_1=6, B_1=25\)
\(A_2=x\)(incógnita), \(B_2=9\)
Reemplazando
\( 6 \times \sqrt{25}=x \times \sqrt{9}\)
\( 6 \times 5=x \times 3\)
\( \displaystyle \frac {6 \times 5}{3}=x \)
\(\displaystyle \frac {30}{3}=x\)
\(10=x\)
4. Si 2 obreros construyen una casa en 15 días. ¿ Cuántos obreros se necesitan para construir la casa en 5 días?
Solución
A más obreros menos tiempo en construir la casa entonces obreros y tiempo son I.P.
\(obreros\times tiempo=k(constante)\)
Es decir \(Obreros_1\times Tiempo_1=Obreros_2\times Tiempo_2\)
\(Obreros_1=2\quad Tiempo_1=15\)
\(Obreros_2=x \quad Tiempo_2=5\)
\(2\times 15=x\times 5\)
\(\displaystyle\frac{2\times 15}{5}=x\)
\(6=x\)
Proporcionalidad Compuesta
Se dice que es de proporcionalidad compuesta cuando intervienen más de dos magnitudes entonces la relación se obtiene aplicando la proporcionalidad directa e inversa varias veces.
Ejemplos
Recuerda si dos magnitudes son D.P. entonces se expresa como un cociente y si las dos magnitudes son I.P. se expresa como un producto.
1. Se sabe que «A» es I.P. a «B» además «A» es D.P. a «C». Si cuando A=2; B=3 y C=5. Hallar «B», cuando A= 6 y C=10
Solución
Si A y B son I.P. entonces se expresa como producto.
Si A y C son D.P. entonces se expresa como un cociente.
Fórmula Proporcional
\(\displaystyle\frac{A \times B}{C}=constante\);
Es decir \(\displaystyle\frac{A_1 \times B_1}{C_1}= \frac{A_2 \times B_2}{C_2} \)
Reemplazando datos
\(A_1=2, B_1=3, C_1=5\)
\(A_2=6\), \(B_2=x\)(incógnita), \(C_2=10\)
\(\displaystyle\frac{2 \times 3}{5}= \frac{6\times x}{10} \)
se multiplica en aspa
\(2\times 3 \times 10=5 \times 6 \times x\)
\(60=30x\)
\(2=x\)
2. A es D.P. a \(B^2\), además A es I.P. a \( \sqrt C \). si A=3, B=3 y C=36.
Hallar «A» cuando B=5 y C=1
Solución
Si «A» es D.P. a «\(B^2\)» entonces se expresa como cociente \(\displaystyle\frac{A}{B^2}=constante\)
«A» es I.P. a «\( \sqrt C \)» entonces se expresa como producto \(A\times \sqrt C =constante\)
Fórmula Proporcional
\( \displaystyle \frac{A \times \sqrt C}{B^2}=constante\)
es decir \( \displaystyle \frac{A_1 \times \sqrt C_1}{{B_1}^2}= \frac{A_2 \times \sqrt C_2}{{B_2}^2}\)
\(A_1=3, B_1=3, C_1=6\)
\(A_2=x\)(incógnita), \(B_2=5\), \(C_2=1\)
Reemplazando
\( \displaystyle \frac{3 \times \sqrt 36}{3^2}= \frac{x\times \sqrt 1}{{5}^2}\)
\( \displaystyle \frac{3 \times 6}{9}= \frac{x\times 1}{25}\)
\( 2=\displaystyle \frac{x}{25}\)
\( 50= x\)
Problemas Resueltos
1. El precio de un diamante es directamente proporcional al cuadrado de su peso, si un diamante pesa 40 gramos y cuesta 1600 dólares. ¿Cuánto costará un diamante qué pesa 20 gramos?
Solución
Precio=P
Peso=W
Se dice Precio es D.P. al cuadrado del peso entonces el cociente es constante
\( \displaystyle\frac{P}{W^2}=K(constante)\)
Es decir \( \displaystyle\frac{P_1}{W_1^2}=\frac{P_2}{W_2^2} \)
\(P_1=1600\) \(W_1=40\)
\(P_2=x \) \(W_2=20\)
reemplazando datos
\( \displaystyle\frac{1600}{40^2}=\frac{x}{20^2}\)
\( \displaystyle\frac{1600}{1600}=\frac{x}{400}\)
\( 1=\displaystyle\frac{x}{400}\)
\(400=x\)
2. La presión de un gas es directamente proporcional a su temperatura absoluta, si a la temperatura de 300 Kelvin, su presión es de 2 atmósferas. ¿A que temperatura la presión es de 4 atmósferas?
Solución
Sea P=Presión y T=Temperatura
Como la presión es directamente proporcional a la temperatura entonces su cociente es una constante.
\(\displaystyle\frac{P}{T}=constante\)
\(\displaystyle\frac{P_1}{T_1}=\frac{P_2}{T_2}\)
\(P_1=2 \quad T_1=300\)
\(P_2=4 \quad T_2=x\)
\(\displaystyle\frac{2}{300}=\frac{4}{x}\)
\(2\times x=4\times 300\)
se multiplica en aspa
\( 2\times x=1200\)
\( x=\displaystyle\frac{1200}{2}\)
x=600
3. Si M es I.P. a \(\sqrt[3]{N}\), cuando M=12; N=8. Calcular M cuando N=27
Solución
Como M es inversamente proporcional a \(\sqrt[3]{N}\) entonces el producto es una constante
\(M\times \sqrt[3]{N}=K(constante)\)
Es decir \(M_1\times \sqrt[3]{N_1}=M_2\times \sqrt[3]{N_2}\)
datos
\(M_1=12; \quad N_1=8\)
\(M_2=x; \quad N_2=27\)
\(12\times \sqrt[3]{8}=x\times \sqrt[3]{27}\)
\(12\times 2=x\times 3\)
\(\displaystyle\frac{12\times 2}{3}=x\)
\(8=x\)
4. Hallar la fórmula de proporcionalidad si «A» es I.P. a «\(B^4\)» y «A» es D.P. a C
Solución
Si A es I.P. a \(B^4\) entonces su producto es una constante.
\(A\times B^4=K\) (constante)
Además A es D.P. a C entonces su cociente es una constante
\( \displaystyle\frac{A}{C}=K\)
Por lo tanto obtenemos
\( \displaystyle\frac{A\times B^4}{C}=K\)
Observación
«A» y «\(B^4\)» están como producto porque son I.P.
«A» y «C» están como cociente porque son D.P.
5. Calcular «a»
Solución
Se observa que la gráfica es de proporcionalidad directa es decir que el cociente es constante.
en consecuencia
\(\displaystyle\frac{b}{8}=\frac{a}{16}=\frac{36}{a}\)
igualando el segundo con el tercero
\(\displaystyle\frac{a}{16}=\frac{36}{a}\)
Multiplicando en aspa
\(a\times a=36\times 16\)
\(a^2=36\times 16\)
\(a=\sqrt{36\times 16}\)
\(a=6\times 4\)
\(a=24\)