El promedio es una cantidad que representa a un conjunto de datos. Está cantidad esta comprendida entre el menor y el mayor de los datos. Entonces el promedio es una medida de tendencia central.
\( menor \, cantidad \leq promedio \leq mayor \, cantidad\)
Como una aplicación tenemos el promedio de notas de un alumno en la escuela, que representa a todas las notas obtenidas . Entre los promedios más ultilzados tenemos:
Promedio Aritmético o Media Aritmética (M.A.)
El promedio aritmético se obtiene al dividir la suma de datos entre el número de datos.
Sean los datos \( \underbrace{a_1, a_2, a_3, …, a_n}_{n\,datos}\). Entonces el promedio aritmético es:
| \( M.A.=\cfrac{suma\,de\,datos}{número\, de\, datos}=\cfrac{a_1+a_2+a_3+…+a_n}{n} \) |
Donde a1, a2, a3,…, an son los datos
n= número de datos
Aplicación 1
Hallar el promedio aritmético de 12, 14, 18 y 20
Solución
Como el número de datos es 4.
Sumamos los datos y dividimos entre 4
\(M.A.=\cfrac{12+14+18+20}{4} \)
\(M.A.= \cfrac{64}{4}=16\)
Aplicación 2
Las notas de Carlitos son 08, 10, 12, 14 y 16 . Hallar su promedio de notas.
Solución
Como el número de datos es 5.
Sumamos los datos y dividimos entre 5
\(M.A.=\cfrac{08+10+12+14+16}{5} \)
\(M.A.= \cfrac{60}{5}=12\)
Aplicación 3
El promedio de 2 números es 10 y el promedio de 3 números es 20. Hallar el promedio de los 5 números.
Solución
Nos dicen que el promedio de 2 números es 10
\( \cfrac{a+b}{2}=10 \) ⇒ \( a+b=20 \)
También nos dicen que el promedio de 3 números es 20
\( \cfrac{c+d+e}{3}=20 \) ⇒ \(c+d+e=60 \)
Nos piden el promedio de los 5 números
\( p=\cfrac{a+b+c+d+e}{5}\)
Reemplazando datos
\( p=\cfrac{ \overbrace{a+b}^{20}+\overbrace{c+d+e}^{60}}{5}\)
\( p=\cfrac{20+60}{5}=\cfrac{80}{5}=16\)
Promedio Geométrico o Media Geométrica (M.G.)
Sean los números \( \underbrace{a_1, a_2, a_3, … ,a_n}_{n\,datos} \) entonces el promedio geométrico o media geométrica se obtiene al extraer la raíz «n» del producto de los «n» datos. \[M.G.= \sqrt[número\, de\, datos]{ \,producto\, de\, datos\,} \]
| \( M.G.= \sqrt[n]{ \,a_1.a_2.a_3…a_n \,} \) |
Donde n representa la cantidad de datos.
Nota: A la media geométrica también se le conoce como media proporcional.
Aplicación 1
Hallar la media geométrica de 3 y 12
Solución
Como son 2 datos se extrae la raíz cuadrada al producto de datos
\( M.G.= \sqrt[2]{ 3\times 12}\)
\( M.G.= \sqrt[]{ 36} =6 \)
Aplicación 2
Hallar la media geométrica de 1, 3 y 9
Solución
Como son 3 datos se extrae la raíz cúbica al producto de datos
\( M.G.= \sqrt[3]{ 1\times3\times 9}\)
\( M.G.= \sqrt[3]{27}=3\)
Aplicación 3
Hallar la media geométrica de 2, 8, 3 y 27
Solución
Como son 4 datos entonces n=4 es decir se extrae raíz cuarta.
\( M.G.= \sqrt[4]{ 2\times8\times 3 \times 27}\)
\( M.G.= \sqrt[4]{2.2^3.3.3^3}=\sqrt[4]{2^4.3^4}=2.3=6\)
Promedio Armónico o Media Armónica (M.H.)
El promedio armónico o media armónica se obtiene al dividir el número de datos entre la suma de inversas de los datos. Sea el siguiente conjunto de números \( \underbrace{a_1, a_2, a_3, …, a_n}_{n \, datos} \) Entonces procedemos hallar la media harmónica M.H. \[ M.H.=\cfrac{número\, de\, datos}{ suma\, de\, inversas\, de\, los\, datos } \]
\(M.H.=\cfrac{n}{ \cfrac{1}{a_1}+ \cfrac{1}{a_2}+\cfrac{1}{a_3}+…+\cfrac{1}{a_n} } \)
Aplicación 1
Hallar la media armónica de 2 y 3
Solución
Como son 2 números entonces n=2
\( M.H.=\cfrac{2}{ \cfrac{1}{2}+ \cfrac{1}{3} } \)
\( M.H.=\cfrac{2}{ \cfrac{3+2}{6} } \)
Entonces
\( M.H.=\cfrac{\,2\,}{ \cfrac{5}{6}} =\cfrac{ 12 }{ 5 } \)
Aplicación 2
Hallar la media armónica de 2, 4 y 8
Solución
Como son 3 cantidades entonces n=3
\( M.H.=\cfrac{3}{ \cfrac{1}{2}+ \cfrac{1}{4}+\cfrac{1}{8} } \)
Ahora sumamos fracciones en el denominador
\( M.H.=\cfrac{3}{ \:\cfrac{4+2+1}{8} \:} \)
\( M.H.=\cfrac{3}{ \:\cfrac{7}{8} } \)
Por lo tanto \( M.H.=\frac{24}{7} \)
Aplicación 3
Hallar la media armónica de 2, 3 ,6 y 12
Solución
Como son 4 datos entonces n=4
\( M.H.=\cfrac{4}{ \cfrac{1}{2}+ \cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{6} +\cfrac{1}{12} } \)
\( M.H.=\cfrac{4}{ \cfrac{6+4+2+1}{12} }=\cfrac{4}{ \frac{13}{12}} \)
Como resultado obtenemos
\( M.H.=\cfrac{48}{13} \)
Promedio Ponderado (P.P.)
Cuando los datos tienen un valor (importancia) que se denomina «peso». El promedio ponderado se calcula de la siguiente manera.
|
|
Como se observa es la suma del producto de losdatos y su peso, luego se divide entre la suma de pesos.
Aplicación 1
Calcular el promedio ponderado de las notas de Pedro en la U.N.I.
Aplicación 2
Las calificaciones del alumno Torres son 13, 15, 10 y sus pesos respectivos de dichas notas son 5, 3 y 2. Calcule el promedio.
Solución
\( P.P.= \cfrac{13×5+15×3+10×2}{5+3+2} \)
\( P.P.= \cfrac{65+45+20}{10} =\cfrac{130}{10}\)
Por lo tanto \( P.P.=13 \)
Propiedades
• Para un conjunto de datos
\( \overline{MA} ≥ \overline{MG} ≥ \overline{MH} \)
Solo si los datos son iguales entonces
MA = MG = MH
• Solo para dos cantidades a y b
\(MA=\cfrac{a+b}{2} \)
\(MG=\sqrt{ab\,}\)
\(MH=\cfrac{2ab}{a+b}\)
• Tenga presente para dos datos
\( \overline{MG}^2=MA\times MH \)
• Para dos datos o cantidades
\( \overline{MA}-\overline{MG}=\cfrac{(a-b)^2}{4(\overline{MA}+\overline{MG})} \)
• Para datos en progresión aritmética
\( a_1; a_2;a_3;…;a_n\)
Se cumple \( MA=\cfrac{a_1+a_n}{2}\)
Es decir, es la semi-suma del primero con el último término
• Para datos en progresión geométrica
\(a_1;a_2;a_3;…;a_n \)
\( MG=\sqrt{a_1 \times a_n}\)
Es decir, es la raíz cuadradad del primero y último térmno.
Problemas Resueltos
Para empezar a resolver tenemos que tener presente las fórmulas y propiedades así como las aplicaciones de la teoría.
Nivel Elemental I
1. Hallar el mayor promedio de 10, 20 y 30
Solución
El mayor promedio es el aritmético (M.A)
\( MA= \cfrac{10+20+30}{3}\)
En consecuencia
\( MA=\cfrac{60}{3}= 20\)
Decir promedio aritmético o media aritmética es lo mismo.
2. Hallar la media aritmética de 5, 15, 20; 40
Solución
Se observa que son 4 números entonces se suman los datos y se divide entre 4
\( MA= \cfrac{5+15+20+40}{4}\)
\( MA= \cfrac{80}{4}=20\)
3. Las notas de José son 12; 16 y 13. ¿Qué nota debe sacar para tener un promedio de 14?
Solución
Como no sabemos la nota que tiene que sacar le asignamos «x».
\( MA=\cfrac{12+16+13+x}{4}\)
Además nos dice que el promedio es 15.
\( MA=\cfrac{12+16+13+x}{4}=15\)
\( 41+x=60 \)
Por lo tanto x=19
4. El promedio aritmético de edades de 4 gatos es 8 años. Ninguno de los gatos es menor de 5 años. ¿Cuál es la máxima edad que puede tener uno de los gatos?
Solución
Para que una edad sea máxima las otras edades deben ser mínimas. Es decir 3 gatos van a tener edad mínima de 5 y un gato va tener la máxima edad. Aplicand promedio aritmético.
\( \cfrac{5+5+5+E_{max}}{4}=8\)
\( 15+E_{max}=32 \)
\(E_{max}=17\) Por lo tanto es un gato muy longevo.
5. Hallar la media aritmética de 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16 .
Solución
Como se tratra de una progresión aritmética. Entonces para hallar el promedio aritmético simplemente se suma el primero y el último luego se divide entre 2.
\( M.A.=\cfrac{2+16}{2}=9 \)
Recuerda las propiedades!!
6. Hallar el menor promedio de 2, 3 y 6
Solución
El menor promedio es el armónico (MH)
\(MH= \cfrac{3}{ \cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{6}}\)
Entonces operando obtenemos
\(MH= \cfrac{3}{ \cfrac{\,3+2+1\,}{6}}=\cfrac{3}{ \;\cfrac{6}{6} \;}=3\)
7. Calcular la media aritmética de 6;12;18; 24;…;90
Solución
12-6=6
18-12=6
24-18=6 así sucesivamente
Se observa que es una progresión aritmética de razon 6
Por lo tanto el promedio aritmético de una progresión aritmética es simplemente
\( MA=\cfrac{primero+último}{2}\)
\( MA=\cfrac{6+90}{2}=48 \)
8. El promedio aritmético de tres números consecutivos es 8. Hallar el mayor número.
Solución
Sea «x» el primer número entonces los tres números consecutivos son x; x+1 y x+2
Ahora si por dato el promedio de los tres números es 8
\( \cfrac{x+(x+1)+( x+2)}{3}=8 \)
operando
\( \cfrac{3x+3}{3}=8\)
\( 3x+3=24 \)
Por lo tanto x=7
Nos piden el mayor número x+3
Es decir 7+3 = 10
9. Calcular el media geométrico de 3; 4 y 18
Solución
Sabemos el promedio geométrico de 3 números es la raíz 3 del producto de los tres números.
\(MG=\sqrt[3]{3.4.18}\)
operando obtenemos
\( MG= \sqrt[3]{216}=\sqrt[3]{6^3}\)
10. Calcule la media geométrica de 1;2;4;8 y16
Solución
Se obsersva que son 5 números entonces la media geométrica es raíz 5 del producto de los números.
\( MG=\sqrt[5]{1.2.4.8.16.}\)
\( MG=\sqrt[5]{2.2^2.2^3.2^4}\)
operando
\( MG=\sqrt[5]{2^{1+2+3+4}}=\sqrt[5]{2^{10}}\)
Como resultado obtenemos
\( MG=\sqrt[ 5 ]{2^{ 10 }}=2^{\frac{10}{5}}=2^2=4\)
11. Dos hermanos tienen 8 años y 10 años ¿Cuál es la edad del tercer hermano, si el promedio de edades es 12?
Solución
Como no conocemos la edad del tercer hermano le asignamos «x»
El promedio de edad de los tres hermanos es 12
\( \cfrac{8+10+x}{3} = 12\)
8+10 +x = 36
x = 18 Respuesta
12. Seis señoras están reunidas. Si ninguna pasa de los 40 años y el promedio de edades es 38. ¿Cuál es la mínima edad que puede tener una de ellas?
Solución
Para que una edad sea mínima las otras deben ser máximas
Sea «x» la mínima edad mínima de una señora
Entonces las otras tienen edad máxima de 40 cada una.
\( \cfrac{x +40+40+40 +40 +40}{6} =38 \)
\( \cfrac{x+200}{6} = 38 \)
\(x+200 = 228 \)
x= 28 Respuesta
13. El promedio de edades de 4 hombres es 32 años . Ninguno de ellos es menor de 28 años. ¿Cuál es la máxima edad que puede tener uno de ellos ?
Solución
Para que una edad sea máxima las otras tienen que ser mínimas es decir 28 años cada uno.
Sea «x» la edad máxima
\( \cfrac{28 +28+28 +x}{4} =32 \)
\( \cfrac{84+x}{4} = 32 \)
84+x = 128
x = 44 años Respuesta
14. El promedio de edades de 25 personas es 22. ¿Cuántas personas de 25 años deben retirarse para que el promedio de los restantes sea 20 ?
Solución
El promedio de edades de 25 personas es 22
\( \cfrac{ E_1+E_2+E_3+…+E_{25} }{25} = 22 \)
\( E_1+E_2+E_3+…+E_{25} =550\)
Se retiran x personas de 25 años y el nuevo promedio es 20
\( \cfrac{ \overbrace{E_1+E_2+…+E_{25} }^{550} \,\,\overbrace{-25-25…-25}^{ \text{se retian x personas de 25 } } } {\underbrace{25-x}_{ \text{número de personas}} } =20\)
\( \cfrac{550-25x}{25-x} =20\)
\( 550 – 25x =20 (25-x)\)
Por lo tanto x=10 Respuesta