Números Primos


El griego Euclides en su obra «Elementos» define los números primos y Eratóstenes determinó con su curioso método los números primos en la serie natural. 

¿Qué son los números primos?

Son aquellos números que solo tienen 2 divisores la unidad y el mismo número

Un divisor  es aquel número que divide exactamente a otro número.
Por ejemplo  ¿7 es divisor de 21?

21 7   «7 divide exactamente a 21»
0 3   Por lo tanto 7 es divisor de 21

Nota:
La unidad no es un número primo por convención (acuerdo)

Ejemplos de números primos

 El 2  es un número primo
   porque solo tiene dos divisores 1 y 2

El 3  es un número primo
   porque solo tiene dos divisores 1 y 3

El 5 es un número primo    
   porque solo tiene dos divisores 1 y 5

El 7  es un número primo    
   porque solo tiene dos divisores 1 y 7

Los números primos del 1 al 100

son: 2; 3, 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47; 53; 59; 61; 67; 71; 73; 79; 83; 89 y 97.

¿Cómo se hallan los números primos del 1 al 100?

Se ordenan los números en columnas del 1 al 10. Luego se eliminan los múltiplos de 2; 3; 5 y 7.
¿Por qué solo hasta el número primo 7? porque solo se consideran los primos menores a la \(  \sqrt{100}=10 \).

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100


Por lo tanto los números primos menores que 100 son: 2; 3, 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47; 53; 59; 61; 67; 71; 73; 79; 83; 89 y 97.

¿Cómo saber si un número es primo?

Primero se calcula la raíz cuadrada del número. Luego se hallan los primos menores a la raíz cuadrada del número. Sí el número no es divisible pòr ninguno de estos números hallados entonces es un número primo.

¿ 53 es un número primo?
Primer Paso
Se extrae la raíz cuadrada de 53
\(  \sqrt{53}=7,2 \) aproximadamente

Segundo Paso
Se halla los números primos menores a  7,2
2; 3; 5 y 7 son primos menores a 7,2

Tercer Paso
Comprobamos si 53 es divisible por  2; 3; 5 y 7
Si no es divisible con ninuguno entonces es primo.

53 2   «53 no es divisible por 2»
1 26    
53 3   «53 no es divisible por 3»
2 17    
53 5   «53 no es divisible por 5»
3 10    
53 7   «53 no es divisible por 7»
4 7    

Como 53 no  es divisible por 2, 3, 5 y 7
Por lo tanto 53 es un número primo.

¿Qué son los números compuestos?

Son aquellos números que tienen más de 2 divisores

Ejemplos 

∗ El 4 tiene tres divisores 12, y 4
Por lo tanto es un número compuesto porque tiene más de dos divisores

∗ El 6  tiene 4 divisores 123, y 6
Por lo tanto es un numero compuesto porque tiene más de dos divisores

∗ El 12 tiene 6 divisores  12346 y 12
Por lo tanto es un numero compuesto porque tiene más de dos divisores

Clasificación de los Números Naturales

Los números naturales positivos se pueden clasificar en

I) Números Simples 

Son la unidad y los números primos
   La Unidad «1»
   Es aquel número que posee un solo divisor la misma unidad.
   Número Primo
   Es aquel que tiene 2 divisores, la unidad y el mismo número. 

II) Números Compuestos

Son los números que tienen más de 2 divisores

III) Números Primos Entre Sì (PESI) o Primos Relativos

Son números que tienen como único divisor en común la unidad
Por ejemplos
a) ¿ Son   7, 9 y 25 primos entre sí ?
    7    tiene como divisores    1 y 7
    9    tiene como divisores   1, 3 y 9
    25  tiene como divisores   1,  5, y 25

Él único divisor en común es la unidad «1«
Entonces el 7, 9 y 25 son PESI (primos entre sí)

¿ Son 4 , 6  primos entre sí ?
    4 tiene como divisores  el  1, 2, y 4
    6  tiene como divisores el  1, 2, 3 y 6

El 4 y 6 no son primos entre sí, porque tienen al 1 y 2 como divisores en común
Para que sean primos entre sí,  tienen que tener solo a la unidad como divisor en común

A los números primos entre sí (PESI). también se les denomina números primos relativos o coprimos.

Descomposición en factores primos

Todo número compuesto se puede descomponer en un producto  de factores primos.  También se le conoce como descomposición canónica.
Procedimiento
Se divide el número entre los factores primos 2 , 3 , 5, 7, 11, … así sucesivamente como se muestra en el ejemplo
EJemplos
1) Descomponer 12 en sus factores primos
Solución
Se saca mitad (dividir entre 2) hasta que no tenga mitad, luego se saca tercia y asi sucesivamente.

12
6
3
1
2
2
3

⇐ Mitad de 12 es 6
⇐ Mitad de 6 es 3
 Tercia de 3 es 1
Final del proceso

Por lo tanto 12 = 2x2x3 = 24x3

2) Descomponer 60 en sus factores primos

60
30
15
5
1
2
2
3
5

 Mitad de 60 es 30
 Mitad de 30 es 15
 Tercia de 15 es 5
 Quinta de  5 es 1
Final del proceso

Por lo tanto 60=2x2x3x5=22x3x5

3) Descomponer 204 en sus factores primos

204
102
51
17
1
2
2
3
17

mitad de 204 es 102
mitad de 102 es 51
tercia de 51 es 17
diecisieteava  de 17 es 1
Final del proceso

Así  204 =2x2x3x17=22x3x17

Cantidad de divisores de un Número(CDN)


En general un número «N» se puede expresar como el prodcuto de sus factores primos
  \( N=A^\alpha B^\beta C^\theta\)  
Donde: 
A, B y C  son factores primos de N
α, β, θ     son exponentes de los factores primos

Entonces la cantidad de divisores de N es:

  \(CD_N=(α+1)(β+1)(θ+1)\)  

Entonces para calcular el número de divisores a los exponentes se le añade una unidad y se les multiplica.

Ejemplos
¿Cuántos divisorse tiene 24?

Primero se descompone en sus factores primos
24 = 23x3 = 23x31
Se suma una unidad a los exponentes y se multiplica
CD24=(3+1)(1+1)=4×2=8
Por lo tanto 24 tiene 8 divisores en total

¿Cuántos divisorse tiene 45?
45=32x51 
CD45=(2+1)(1+1)=3×2=6
Por lo tanto 45 tiene 6 divisores en total.

Divisores Simples

Los divisores simples son la unidad y los números primos
La unidad 1
Los números primos 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,  23, …

Divisores Compuestos

Los divisores compuestos son todos aquellos números compuestos.
Números compuestos 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14,16, 18, 20 …

Divisores Primos

Los divisores primos son los números primos
Numeros primos 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …

Divisores Propios

Los divisores propios son todos los divisores excepto el mismo número.
Ejemplo 
Los divisores del 6 son 1; 2 ; 3 y 6
Los divisores propios del 6 son 1, 2, y 3 

Nota
La cantidad de divisores de un número  es igual a la cantidad de divisores simples mas la cantidad de divisores compuestos. 

Es decir  CDN= CDsimples + CDcompuestos           
               CDN= 1+CDprimos + CDcompuestos
Ejemplo
 ¿Cuántos divisores primos, simples y compuestos tiene 72?.
Solución
72=23x32  
Los divisores primos son la bases 2 y 3
Es decir 2 divisores primos.

Los divisores simples son los divisores primos y la unidad
 1, 2, y 3  es decir 3 divisores simples

Cálculo de los divisores totales
72=23x32 
 CD=(3+1)(2+1)=12 divisores en total

Entonces CD = CDsimples + CDcompuestos  
                    12 = 3 + CDcompuestos  
                     9 = CDcompuestos  

Problemas Resueltos

1. Hallar la suma de los 5 primeros números primos
Solución
Los 5 primeros números primos son 2, 3, 5, 7 y 11
Ahora sumamos 2+3+5+7+11=29

2.  Calcular el número de divisores de «N»:
N=23527
Solución
Como N ya está descompuesto en sus factores primos
N=23x52x71
Solo sumamos una unidad a los exponentes y multiplicamos
CD=(3+1)(2+1)(1+1)= 4x3x2=24
Cantidad de divisores es 24

3. Calcular el valor de «α» si «N» tiene 24 divisores
N=32.5α.2 
Solución
Observamos que N ya está descompuesto canónicamente
N=32.5α.2 1
Calculamos el número de divisores e igualamos a 24
CD=(2+1)(α+1)(1+1)=24
            3.(α+1)(2)=24
              (α+1)=4  
Por lo tanto α= 3

4. Descomponer 30a en sus factores primos
Solución
Como 30 = 6×5 = 2x3x5
Entonces  30a =(30)a=(2x3x5)a
Por lo tanto 30a= 2ax3ax5a

5. Calcular el número de divisores de 210
Solución
Cuando es un número sencillo se puede descomponer directamente
210=21×10
210=3x7x 2×5  ordenamos
Luego 210=21x31x51x71
Calculando la cantidad de divisores
CD=(1+1)(1+1)(1+1)(1+1)=2x2x2x2=16
Por lo tanto tiene 16 divisores

6. Hallar el valor de «a» si 30a tiene 27 divisores
Solucion
Como sabemos 30 = 2x3x5
luego 30a=(30)a =(2x3x5)
Entonces 30a=2ax3ax5a 
Calculamos el número de divisores e igualamos a 27
(a+1)(a+1)(a+1)=27=3x3x3
a+1=3  por lo tanto a=2

Recuerda los diez primeros números primos

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 y 29

7. Cuál es el menor número que tenga 15 divisores
Solución
Sea  el menor número N=2x.3
Como nos dice que la cantidad de divisores es 15
Entonces 
CD=(x+1)(y+1)=15=5×3
x+1=5    ⇒  x=4
y+1=3   ⇒  y=2 
Por lo tanto N=2x.3y = 24.32=144