El griego Euclides en su obra «Elementos» define los números primos y Eratóstenes determinó con su curioso método los números primos en la serie natural.
¿Qué son los números primos?
Son aquellos números que solo tienen 2 divisores la unidad y el mismo número
Un divisor es aquel número que divide exactamente a otro número.
Por ejemplo ¿7 es divisor de 21?
Nota:
La unidad no es un número primo por convención (acuerdo)
Ejemplos de números primos
∗ El 2 es un número primo
porque solo tiene dos divisores 1 y 2
∗ El 3 es un número primo
porque solo tiene dos divisores 1 y 3
∗ El 5 es un número primo
porque solo tiene dos divisores 1 y 5
∗ El 7 es un número primo
porque solo tiene dos divisores 1 y 7
Los números primos del 1 al 100
son: 2; 3, 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47; 53; 59; 61; 67; 71; 73; 79; 83; 89 y 97.
¿Cómo se hallan los números primos del 1 al 100?
Se ordenan los números en columnas del 1 al 10. Luego se eliminan los múltiplos de 2; 3; 5 y 7.
¿Por qué solo hasta el número primo 7? porque solo se consideran los primos menores a la \( \sqrt{100}=10 \).
2 | 3 | 5 | 7 | ||||||
11 | 13 | 17 | 19 | ||||||
23 | 29 | ||||||||
31 | 37 | ||||||||
41 | 43 | 47 | |||||||
53 | 59 | ||||||||
61 | 67 | ||||||||
71 | 73 | 79 | |||||||
83 | 89 | ||||||||
91 | 97 |
Por lo tanto los números primos menores que 100 son: 2; 3, 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47; 53; 59; 61; 67; 71; 73; 79; 83; 89 y 97.
¿Cómo saber si un número es primo?
Primero se calcula la raíz cuadrada del número. Luego se hallan los primos menores a la raíz cuadrada del número. Sí el número no es divisible pòr ninguno de estos números hallados entonces es un número primo.
¿ 53 es un número primo?
Primer Paso
Se extrae la raíz cuadrada de 53
\( \sqrt{53}=7,2 \) aproximadamente
Segundo Paso
Se halla los números primos menores a 7,2
2; 3; 5 y 7 son primos menores a 7,2
Tercer Paso
Comprobamos si 53 es divisible por 2; 3; 5 y 7
Si no es divisible con ninuguno entonces es primo.
Como 53 no es divisible por 2, 3, 5 y 7
Por lo tanto 53 es un número primo.
¿Qué son los números compuestos?
Son aquellos números que tienen más de 2 divisores
Ejemplos
∗ El 4 tiene tres divisores 1, 2, y 4
Por lo tanto es un número compuesto porque tiene más de dos divisores
∗ El 6 tiene 4 divisores 1, 2, 3, y 6
Por lo tanto es un numero compuesto porque tiene más de dos divisores
∗ El 12 tiene 6 divisores 1, 2, 3, 4, 6 y 12
Por lo tanto es un numero compuesto porque tiene más de dos divisores
Clasificación de los Números Naturales
Los números naturales positivos se pueden clasificar en
I) Números Simples
Son la unidad y los números primos
La Unidad «1»
Es aquel número que posee un solo divisor la misma unidad.
Número Primo
Es aquel que tiene 2 divisores, la unidad y el mismo número.
II) Números Compuestos
Son los números que tienen más de 2 divisores
III) Números Primos Entre Sì (PESI) o Primos Relativos
Son números que tienen como único divisor en común la unidad
Por ejemplos
a) ¿ Son 7, 9 y 25 primos entre sí ?
7 tiene como divisores 1 y 7
9 tiene como divisores 1, 3 y 9
25 tiene como divisores 1, 5, y 25
Él único divisor en común es la unidad «1«
Entonces el 7, 9 y 25 son PESI (primos entre sí)
b ¿ Son 4 , 6 primos entre sí ?
4 tiene como divisores el 1, 2, y 4
6 tiene como divisores el 1, 2, 3 y 6
El 4 y 6 no son primos entre sí, porque tienen al 1 y 2 como divisores en común
Para que sean primos entre sí, tienen que tener solo a la unidad como divisor en común
A los números primos entre sí (PESI). también se les denomina números primos relativos o coprimos.
Descomposición en factores primos
Todo número compuesto se puede descomponer en un producto de factores primos. También se le conoce como descomposición canónica.
Procedimiento
Se divide el número entre los factores primos 2 , 3 , 5, 7, 11, … así sucesivamente como se muestra en el ejemplo
EJemplos
1) Descomponer 12 en sus factores primos
Solución
Se saca mitad (dividir entre 2) hasta que no tenga mitad, luego se saca tercia y asi sucesivamente.
Por lo tanto 12 = 2x2x3 = 24x3
2) Descomponer 60 en sus factores primos
Por lo tanto 60=2x2x3x5=22x3x5
3) Descomponer 204 en sus factores primos
Así 204 =2x2x3x17=22x3x17
Cantidad de divisores de un Número(CDN)
Donde:
A, B y C son factores primos de N
α, β, θ son exponentes de los factores primos
Entonces la cantidad de divisores de N es:
Entonces para calcular el número de divisores a los exponentes se le añade una unidad y se les multiplica.
Ejemplos
¿Cuántos divisorse tiene 24?
Primero se descompone en sus factores primos
24 = 23x3 = 23x31
Se suma una unidad a los exponentes y se multiplica
CD24=(3+1)(1+1)=4×2=8
Por lo tanto 24 tiene 8 divisores en total
¿Cuántos divisorse tiene 45?
45=32x51
CD45=(2+1)(1+1)=3×2=6
Por lo tanto 45 tiene 6 divisores en total.
Divisores Simples
Los divisores simples son la unidad y los números primos
La unidad 1
Los números primos 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …
Divisores Compuestos
Los divisores compuestos son todos aquellos números compuestos.
Números compuestos 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14,16, 18, 20 …
Divisores Primos
Los divisores primos son los números primos
Numeros primos 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …
Divisores Propios
Los divisores propios son todos los divisores excepto el mismo número.
Ejemplo
Los divisores del 6 son 1; 2 ; 3 y 6
Los divisores propios del 6 son 1, 2, y 3
Nota
La cantidad de divisores de un número es igual a la cantidad de divisores simples mas la cantidad de divisores compuestos.
Es decir CDN= CDsimples + CDcompuestos
CDN= 1+CDprimos + CDcompuestos
Ejemplo
¿Cuántos divisores primos, simples y compuestos tiene 72?.
Solución
72=23x32
Los divisores primos son la bases 2 y 3
Es decir 2 divisores primos.
Los divisores simples son los divisores primos y la unidad
1, 2, y 3 es decir 3 divisores simples
Cálculo de los divisores totales
72=23x32
CD=(3+1)(2+1)=12 divisores en total
Entonces CD = CDsimples + CDcompuestos
12 = 3 + CDcompuestos
9 = CDcompuestos
Problemas Resueltos
1. Hallar la suma de los 5 primeros números primos
Solución
Los 5 primeros números primos son 2, 3, 5, 7 y 11
Ahora sumamos 2+3+5+7+11=29
2. Calcular el número de divisores de «N»:
N=23527
Solución
Como N ya está descompuesto en sus factores primos
N=23x52x71
Solo sumamos una unidad a los exponentes y multiplicamos
CD=(3+1)(2+1)(1+1)= 4x3x2=24
Cantidad de divisores es 24
3. Calcular el valor de «α» si «N» tiene 24 divisores
N=32.5α.2
Solución
Observamos que N ya está descompuesto canónicamente
N=32.5α.2 1
Calculamos el número de divisores e igualamos a 24
CD=(2+1)(α+1)(1+1)=24
3.(α+1)(2)=24
(α+1)=4
Por lo tanto α= 3
4. Descomponer 30a en sus factores primos
Solución
Como 30 = 6×5 = 2x3x5
Entonces 30a =(30)a=(2x3x5)a
Por lo tanto 30a= 2ax3ax5a
5. Calcular el número de divisores de 210
Solución
Cuando es un número sencillo se puede descomponer directamente
210=21×10
210=3x7x 2×5 ordenamos
Luego 210=21x31x51x71
Calculando la cantidad de divisores
CD=(1+1)(1+1)(1+1)(1+1)=2x2x2x2=16
Por lo tanto tiene 16 divisores
6. Hallar el valor de «a» si 30a tiene 27 divisores
Solucion
Como sabemos 30 = 2x3x5
luego 30a=(30)a =(2x3x5)a
Entonces 30a=2ax3ax5a
Calculamos el número de divisores e igualamos a 27
(a+1)(a+1)(a+1)=27=3x3x3
a+1=3 por lo tanto a=2
Recuerda los diez primeros números primos
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 y 29
7. Cuál es el menor número que tenga 15 divisores
Solución
Sea el menor número N=2x.3y
Como nos dice que la cantidad de divisores es 15
Entonces
CD=(x+1)(y+1)=15=5×3
x+1=5 ⇒ x=4
y+1=3 ⇒ y=2
Por lo tanto N=2x.3y = 24.32=144