Mínimo Común Múltiplo (M.C.M)

El mínimo común múltiplo es el menor múltiplo  en común que tienen dos o más números enteros positivos.
Ejemplo
¿Cuál es el menor múltiplo común que tienen 4 y 6?
Múltiplos de 4 :   4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36
Múltiplos de 6 :   6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, …

Los múltiplos comunes son 12, 24, 36, …
El menor múltiplo común es 12

Entonces el mínimo común múltiplo de 4 y 6 es 12
Se escribe el MCM( 4, 6) = 12
Notación
MCM (4, 6) = 12  se lee el mínimo común múltiplo de 4 y 6 es 12.

Métodos Para Calcular El Mínimo Común Múltiplo

1. Por Descomposición Simultanea

Se ordenan los números horizontalmente luego se traza una linea vertical y se extraen los divisores primos comunes y no comunes. 

Ejemplos

1) Hallar el mínimo común múltiplo de 4 y 6

 4  –   6
 2  –   3
 1  –   3
 1     1
 2
 2
 3
 Se divide entre 2
 Se divide entre 2
 Ahora se divide entre 3
Fin del proceso quedan solo unos

Entonces el MCM (6, 8) = 2 x 2 x 2 x 3 = 24

2) Hallar el mínimo común múltiplo de 4, 6 y 15

 4    6    15
 2    3    15 
 1    3    15
 1    1     5
 1    1     1

 2
 2
 3
 5

 Se divide entre 2
 Se divide entre 2
 Ahora divide entre 3
 Se divide entre 5
Fin del proceso quedan solo unos

Entonces el MCM (4, 6, 15) = 2 x 2 x 3 x 5 = 60

3) Hallar el mcm de 4k, 6k y 10k

 4k   –  6k  –  10k
   4   –   6   –   10
   2   –   3   –    5
   1   –   3   –    5
   1   –   1   –    5
   1   –   1   –    1  

  k
  2
  2
  3
  5 

 Se divide entre K
 Se divide entre 2
 Otra vez entre 2
 Ahora se divide entre 3
 Por último se divide entre 5

Entonces el MCM (12k, 18k, 30k) = 2 x 2 x 3 x 5 x k = 60k

2. Por Descomposición Canónica

Cuando los números están descompuestos en sus factores primos, entonces el mínimo común múltiplo es igual al producto de los divisores primos comunes y no comunes elevados a su mayor exponente.

Ejemplos

1) Hallar el mínimo común múltiplo de 40 y 70
40 = 23 x 5 
70 = 2 x 5 x 7 
Se escriben los divisores comunes y no comunes elevados a su mayor exponente.
Divisor común con mayor exponente 23 y 5
Divisores no comunes con mayor exponente  7

Entonces el MCM (120, 70) = 23 x 5 x 7 = 280

2) Hallar el mínimo común múltiplo de A y B
A= 23 x 3 
B = 22 x 32 x 5
Divisores comunes con mayor exponente 23 y 32
Divisores no comunes con mayor exponente 5

Entonces MCM (A, B) = 23 x 32 x 5 = 270