El máximo común divisor es el mayor divisor en común que tienen dos o más números enteros positivos
¿Cuál es el mayor divisor en común que tienen 12 y 18?
Divisores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6, 12
Divisores de 18 son 1, 2, 3, 6, 9, 18
Los divisores comunes son 1, 2, 3, 6
El mayor divisor común que tienen es 6.
Entonces el máximo común divisor de 12 y 18 es 6.
Se escribe MCD (12;18) = 6
Notación
MCD (12;18) = 6 se lee el máximo común divisor de 12 y 18 es igual a 6
Métodos Para Calcular El Máximo Común Divisor
Por Descomposición Simultánea
Se ordenan horizontalmente los números, luego se traza una línea vertical y se extraen los divisores primos comunes.
Nota: Los divisores primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …
Ejemplos
1) Hallar el máximo común divisor de 8 y 12
Primero se ordena horizontalmente los números
El proceso termina cuando no hay más divisores comunes
Entonces el MCD (8;12) = 2x2 = 4 Respuesta.
2) Calcular el máximo común divisor de 12K y 18K
Se extraen todos los divisores comunes
Por lo tanto el MCD (12; 18) = 2x3xK = 6K
3) Hallar el máximo común divisor de 60 y 84.
Por lo tanto MCD= 2x2x3=12
4) Hallar el máximo común divisor de 150 y 210
5) Hallar el MCD de 12k, 42k y 35k
Por lo tanto el MCD = 2 x 3 x k = 6k
Por descomposición canónica
Cuando los números están descompuestos en sus factores primos, entonces el MCD de los números es el producto de sus divisores primos comunes elevados a su menor exponente.
Ejemplos
1. Hallar el máximo común divisor de los números A y B
A = 25 x 32 x 7
B = 28 x 52 x 11
Solución
Se eligen los factores primos comunes elevados a su menor exponente
Él único factor primo común que tienen A y B es 2.
Entre 25 y 28 se elige el de menor exponente 25
Entonces el MCD (A, B) = 25
2. Hallar el máximo común divisor de los números A, B y C
A = 22 x 33 x 7
B = 2 x 34 x 11
C= 23 32 x 5
Solución
Se eligen los factores primos comunes elevados a su menor exponente
Los factores primos comunes que tienen A, B y C son 2 y 3
Entre 22 , 2 y 23 el de menor exponente es 21
Entre 33 , 34, y 32 el de menor exponente es 32
Entonces el MCD (A, B, C) = 21 x 32 = 2 x 9 = 18
Propiedades del Máximo Común Divisor
Propiedad I
Sean los números A y B que no tienen divisores primos comunes
Entonces el MCD (A, B) = 1
Ejemplos
* Hallar el máximo común divisor de 2 y 3
Solución
Como 2 y 3 no tienen divisores primos comunes
Entonces el MCD (2, 3) = 1
* Hallar el MCD (8, 9, 25)
Solución
Como 8, 9 y 25 no tienen divisores primos comunes
Entonces el MCD (8, 9, 25) = 1
Propiedad II
Si A es divisor de B
Entonces el MCD (A, B) = A
Ejemplos
* Hallar el MCD (4,16)
Solución
Como 4 es divisor de 16
Entonces el MCD(4, 16) = 4
* Hallar el MCD (9, 18)
Solución
Como 9 es divisor de 18
Entonces el MCD (9, 18) =9
Propiedad III
Sean los números kA, kB y kC
Entonces MCD (kA, kB, kC) =k x MCD (A, B, C)
Aplicación
* MCD (2A, 2B, 2C) = 2 x MCD(A,B,C)
* MCD ( 7A, 7B, 7C) = 7 x MCD (A,B,C)
* MCD ( 20x3 , 20x5, 20x7) = 20 x MCD (3, 5, 7)
= 20 x 1
Nota:
Cuando dos o más números no tienen divisores comunes, se les dice que son primos entre sí (PESI).
Ejercicios Resueltos
Nivel Básico
1. Hallar K si el MCD (2K, 3K) = 50
Solución
MCD (2K, 3K) = 50
Kx \( \underbrace{ MCD (2, 3) }_{1} \) = 50
Kx1=50
K=50 Respuesta
2. Calcular el máximo común divisor de 80 y 120
Solución
Se observa
80 = 40 x 2
120 = 40 x 3
MCD (80, 120) = MCD ( 40x2, 40x3)
= 40 x MCD(2, 3)
= 40 x 1 = 40 Respuesta
3. Si se cumple que el MCD (2A, 2B) = 20
Hallar el MCD (A, B)
Solución
MCD (2A, 2B) = 40
2x MCD (A, B) = 40
MCD (A, B) = \( \cfrac{40}{2} \) = 20 Respuesta
4. Si el MCD (2a, 2b) = 20
Hallar el MCD (5a, 5b)
Solución
MCD (2a, 2b) = 20
2x MCD (a, b) = 20
MCD (a, b) = \( \cfrac{20}{2} \)=10
Pero nos piden
MCD (5a, 5b) = 5x MCD (a, b)
= 5x 10 = 50
5. Dado
A= 23m x 32
B= 2m x 35
Hallar m sabiendo que MCD (A, B) = 36
Solución
Entre 23m y 2m el de menor exponente es 2m
Entre 32 y 35 el de menor exponente es 32
Por lo tanto MCD (A,B)= 2m x 32
Además MCD (A, B) = 36 dato
2m x 9 = 36
2m = 4 m=2 Respuesta