Divisibilidad


La divisibilidad nos da las condiciones que debe tener un número para que sea divisible por otro número. 

¿20 es divisible entre 4 ?
Si dividimos 20 entre 4 nos da cociente 5 y residuo 0

División Exacta 20  
              Residuo 0 0 5  

La división es exacta entonces 20 es divisible entre 4
                       20=4×5 
Es decir 20 es múltiplo de 4 y se representa así
\(20=4K\) se lee 20 es múltiplo de 4
\(20=\mathop{4}^\limits o \)   se lee 20 es múltiplo de 4 
     
¿ 42 es divisible entre  5?
Si dividimos 42 entre 5 nos da cociente 8 y residuo 2

\(División \,inexacta\) 42    5  
\(Con \,residuo \, 2\) 2  8  

División  inexacta entonces 42 no es divisible entre 5
                     42= 5×8 +2
Es decir  42 es múltiplo de 5 con resto 2  y se representa así \(42=5K+2\)  ó  \(42= \mathop{5}^\limits o  +2\)   

Multiplicidad

Un múltiplo de 4 se representa como \( \mathop{4}^\limits o \)
También un múlitiplo de 4 se representa por 4k

Por ejemplo
a)
¿Cuáles son los 3 primero múltiplos positivos de 7?
Un múltiplo de siete se escribe como 7.k
para k=1    7×1=7
         k=2     7×2=14
         k=3     7×3=21
Respuesta 7, 14 y 21

b) Expresar 10 como múltiplos de 4
10=4×2+ 2
\(10=\mathop{4}^\limits o +2\) ó también \(10=4k+2\)
Es decir 10 es múltiplo de 4 con resto 2

c) Expresar 45 como múltiplo de 9
45=9×5
\(45=\mathop{9}^\limits o \) ó también \(45=9k\)
Es decir 45 es múltiplo de 9 

d) Expresar  56 como múltiplo de 10
56=10×5+6
\(56=\mathop{10}^\limits o +6\) ó también \(56=10k+6\)
Es decir 56 es múltiplo de 10 con resto 6

Operaciones con múltiplos


 \( \checkmark\) Suma de múltiplos \( \mathop{n}^\limits o + \mathop{n}^\limits o = \mathop{n}^\limits o \)
Por ejemplo
\( \underbrace{2}_{\mathop{2}^\limits o}+\underbrace{4}_{\mathop{2}^\limits o}+\underbrace{8}_{\mathop{2}^\limits o}=\mathop{2}^\limits o +\mathop{2}^\limits o +\mathop{2}^\limits o =\mathop{2}^\limits o \)

 \( \checkmark\) Resta de múltiplos \( \mathop{n}^\limits o – \mathop{n}^\limits o = \mathop{n}^\limits o \)
Ejemplo
\( \underbrace{3}_{\mathop{3}^\limits o}-\underbrace{6}_{\mathop{3}^\limits o}-\underbrace{9}_{\mathop{3}^\limits o}=\mathop{3}^\limits o -\mathop{3}^\limits o -\mathop{3}^\limits o =\mathop{3}^\limits o \)

 \( \checkmark\) \( \mathop{n}^\limits o \times \mathop{n}^\limits o = \mathop{n}^\limits o \)
Ejemplo \( \mathop{5}^\limits o \times \mathop{5}^\limits o = \mathop{5}^\limits o \)

 \( \checkmark\) \( \mathop{n}^\limits o . k=\mathop{n}^\limits o \)
Ejm \( \mathop{7}^\limits o . 12 = \mathop{7}^\limits o \)

 \( \checkmark\) \( ( \mathop{n}^\limits o +r_1)( \mathop{n}^\limits o +r_2)= \mathop{n}^\limits o +r_1.r_2 \)
Ejemplo \( ( \mathop{5}^\limits o +1)( \mathop{5}^\limits o -4)= \mathop{5}^\limits o +(+1)(-4) =\mathop{5}^\limits o -4\)

 \( \checkmark\) \( ( \mathop{n}^\limits o +r)^k =\mathop{n}^\limits o +r^k \)
Ejemplo \( ( \mathop{3}^\limits o +1)^6=\mathop{3}^\limits o +1^6 =\mathop{3}^\limits o +1\)

 \( \checkmark\) \( (\mathop{n}^\limits o)^k=\mathop{n}^\limits o \)
Por ejemplo \( (\mathop{5}^\limits o)^{12}=\mathop{5}^\limits o \)

 \( \checkmark\) Si \(N=\mathop{a}^\limits o +r \) , \(N=\mathop{b}^\limits o +r\) . \(N=\mathop{c}^\limits o +r \)
Entonces N es múltiplo del mínimo común múltiplo de a,b,c mas el resto r.
Es decir \( N= \mathop{ \overline{MCM(a,b,c)} }^\limits o + r \)

Criterios de Divisibilidad


Divisibilidad por 2

Un número es divisible por 2 si la última cifra termina en cero o cifra par
\( \overline{abcde} = \mathop{2}^\limits o\)     ⇔    e = 0   ó   e = {2;4;6;8}

Divisibilidad por 3

Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
\( \overline{abcde} = \mathop{3}^\limits o\)    ⇔   \(a+b+c+d+e=\mathop{3}^\limits o\) 

Divisibilidad por 5

Un número es divisible por 5 si la última cifra termina en 0 ó 5.
\( \overline{abcde} = \mathop{5}^\limits o\)    ⇔    si  e=0  ó  e=5

Divisibilidad por 7

Un número es divisible por 7 si al multiplicar sus cifras de derecha a izquierda por +1, +3, +2; -1,-3,-2; +1,+3,+2: -1,-3,-2, … la suma de los resultados es un múltiplo de 7.
\( \overline{ \underbrace{\mathop{a}_\limits {2} \mathop{b}_\limits {3} \mathop{c}_\limits {1}}_{-} \underbrace{\mathop{d}_\limits {2} \mathop{e}_\limits {3} \mathop{\text{f}}_\limits {1}}_{+} \, \, \, \, }= \mathop{7}^\limits {o}\)    
⇔   \( +1\times f +3\times e +2\times d-1\times c -3\times b -2\times a =\mathop{7}^\limits o \) 

Divisibilidad por 9

Un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9.
\( \overline{abcde} = \mathop{9}^\limits o\)       ⇔     \(a+b+c+d+e=\mathop{9}^\limits o\) 

Divisibilidad por 11

Un número es divisible por 11 si solo si la suma de cifras de orden impar menos la suma de cifras de orden par es múltiplo de 11. 
\( \overline{\mathop{a}_\limits {+} \mathop{b}_\limits {-} \mathop{c}_\limits {+} \mathop{d}_\limits {-} \mathop{e}_\limits {+} \, \, \, }= \mathop{11}^\limits {o}\)    ⇔     \(+e-d+c-b+a=\mathop{11}^\limits o \)

Problemas Resueltos

1. Diga si el número 123 es divisible entre 3
Solución
Un número es divisible por 3 si la suma de cifras es múltiplo de 3.
Sumando cifras 1+2+3  \(=6 = \mathop {3}^\limits o \) 
Por lo tanto el número 123 es divisible entre 3.

2. Si el numeral \( \overline{4a2} \) es divisible entre 9. Hallar «a»
Solución
Un número es divisible entre 9 si la suma de cifras es múltiplo de 9.
\( 4+a+2= \mathop {9}^\limits o \) 
 \( 6+a=\mathop {9}^\limits o \) 
Entonces  se cumple para a =3

3.  Cuál es el resto al dividir el número \( \overline{2371} \)  entre 3
Solución
Un número es divisible por 3 si la suma de cifras es múltiplo de 3.
2+3+7+1  \(=14 = \underbrace{12}_{ \mathop {3}^\limits o} +2= \mathop {3}^\limits o + 2\)
Por lo tanto  el resto es 2.

**Recuerda los criterios de divisibilidad**

4.  Diga si el número \( \overline{aaa} \) es divisible entre 3
Solución
Un número es divisible por 3 si la suma de cifras es múltiplo de 3.
 a+a+a=\(3a= \mathop {3}^\limits o \)
Por lo tanto \( \overline{aaa} \) es divisible entre 3

5. Hallar el menor dígito «p» que cumple
\( 3p+10= \mathop{4}^\limits o \) (múltiplo de 4)
Solución
Probando valores en \( 3p+10= \mathop{4}^\limits o \)
Para p=0     3x0 +10  =\(  \mathop{4}^\limits o \)   no cumple
                                10 =\(  \mathop{4}^\limits o \)   
         p=1    3x1 +10  =\(  \mathop{4}^\limits o \)   no cumple
                               13 =\(  \mathop{4}^\limits o \)   
         p=2     3x2 +10  =\(  \mathop{4}^\limits o \)   si cumple
                               16 =\(  \mathop{4}^\limits o \)  
Por lo tanto el menor dígito es p=2

6. Cuántos múltiplos de 8 hay entre 12 y 120
Solución
Un múltiplo de 8 se representa por 8k
12< 8k < 120
\( \cfrac{12}{8}< k <\cfrac{120}{8} \)
\( 1,5< k <15\)
Los valores que toma \(k= \underbrace{2;3;4;..;14}_{13 valores} \)
Por lo tanto existen 13 números

7. ¿Cuántos números de 2 cifras son múltiplos de 5?
Solución
El menor número de 2 cifras es 10 y el mayor es 99
\(  10\leqslant 5k\leqslant99\)
\( \cfrac{10}{5}\leqslant k \leqslant \cfrac{99}{5} \)
Entonces \( 2\leqslant k\leqslant19,8\)
Valores que toma \(k=\underbrace{2;3;4;..; 19}_{18valores}\)
Por lo tasnto tenemos 18 múltiplos de 5.
             
8. ¿Cuántos números de 3 cifras son divisibles entre 12?
Solución
Entonces se va hallar los múltiplos de 12
El menor numero de 3 cifras es 100 y el mayor es 999
\(  100\leqslant 12k\leqslant999\)
\( \cfrac{100}{12}\leqslant k \leqslant \cfrac{999}{12} \)
Entonces \( 8,3\leqslant k\leqslant83,2\)
Valores que toma \(k=9;10;11;..; 83\)
Por lo tanto Total de valores = (83-9) +1 =75 números