Se le llama productos notables a ciertas multiplicaciones cuyo resultado se obtienen directamente sin efectuar la multiplicación. Los productos notables nos ayudan a multiplicar más rápido.
Binomio al Cuadrado
Elevar un binomio al cuadrado nos da como resultado un trinomio cuadrado perfecto.\[ \bbox[10px,border: 1px solid #0084d1] { (a \color{red}{+}b)^2= a^2 \color{red}{+}2ab +b^2 } \]\[ \bbox[10px,border: 1px solid #0084d1] { (a \color{red}{-}b)^2= a^2 \color{red}{-}2ab +b^2 } \] Ejemplos
•Desarrollar\( (x\color{red}{+}3)^2 \)
Cuadrado del primero \( (x)^2 = \color{#0693e3 }{x^2} \)
+Doble del primero por el segundo +\( 2(x)(3) = \color{#0693e3 }{\color{red}{+}6x} \)
Cuadrado del segundo \( (3)^2 =\color{#0693e3 }{ 9} \)
Por lo tanto \( (x\color{red}{+}3)^2 =\color{#0693e3 }{ x^2\color{red}{+}6x+9} \)
• Desarrollar \( (2a\color{red}{-}3b)^2 \)
Cuadrado del primero \( (2a)^2 = \color{#0693e3 }{4a^2} \)
–Doble del primero por el segundo –\( 2(2a)(3b) = \color{#0693e3 }{ \color{red}{-}12ab} \)
Cuadrado del segundo \( (3b)^2 =\color{#0693e3 }{9b^2} \)
Entonces \( (2a\color{red}{-}3b)^2 =\color{#0693e3 }{ 4a^2 \color{red}{-}12ab+9b^2} \)
• Desarrollar \( (m+3)^2 \)
Efectuamos directamente
\( (m\color{red}{+}3)^2 = (m)^2\color{red}{+}2(m)(3)+(3)^2\)
\( (m\color{red}{+}3)^2 = m^2\color{red}{+}6m+3\)
• Efectuar \( (m\color{red}{-}3)^2 \)
\( = (m)^2 \color{red}{-}2(m)(3)+(3)^2 \)
\( = m^2\color{red}{-}6m +9 \)
• Desarrollar \( (a^x \color{red}{+}b^x)^2 \)
\( = (a^x)^2 \color{red}{+}2(a^x)(b^x)+ (b^x)^2 \)
\( = a^{2x} \color{red}{+}2a^xb^x + b^{2x} \)
• Efectuar \( ( x^m \color{red}{+} y^n )^2 \)
\( = (x^m)^2 \color{red}{+}2(x^m)(y^n) +(y^n)^2 \)
\( = x^{2m} \color{red}{+}2x^{m}y^{n} +y^{2n} \)
• Efectuar \( ( x^{10} \color{red}{+}y^{10} )^2 \)
\( = ( x^{10})^2 \color{red}{+}2(x^{10})(y^{10}) + (y^{10})^2 \)
\( = x^{20} \color{red}{+}2x^{10}y^{10} +y^{20} \)
• Desarrollar \( (x+\displaystyle \frac{1}{x} )^2\)
\( (x+\displaystyle \frac{1}{x} )^2 = (x)^2 +2( x)(\frac{1}{x}) +(\frac{1}{x})^2 \)
Recuerda simplificar \( \displaystyle \require{cancel} 2( \color{red}{\cancel{ \color{black}{x}} })(\frac{1}{ \color{red}{\cancel{ \color{black}{x}} } }) =2 \)
\( (x+\displaystyle \frac{1}{x} )^2 = x^2 +2 +\frac{1}{x^2} \)
• Desarrollar \( (a^x+a^{-x} )^2\)
\( (a^x+a^{-x} )^2 = (a^x)^2 +2( a^x)(a^{-x}) +(a^{-x})^2 \)
\( (a^x+a^{-x} )^2 = a^{2x} +2a^{x-x} +a^{-2x} \)
Recuerda a+x-x=a0=1
\( (a^x+a^{-x} )^2 = a^{2x} +2 +a^{-2x} \)
Diferencia de Cuadrados
El producto de la suma de dos cantidades por su diferencia nos da como resultado el cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo térmno.
\[ \bbox[10px,border: 1px solid #0084d1] { (a+b)(a-b)=a^2 – b^2 } \]Ejemplos
• Efectuar \( (x+2)(x-2) \)
Recuerda cuadrado del primero menos cuadrado del segundo
\( (x+2)(x-2) = (x)^2 – (2)^2 \)
\( = x^2 -4 \)
• Efectuar \( (x+5)(x-5) \)
Cuadrado del primero menos cuadrado del segundo
\( = (x)^2 -(5)^2 \)
\( = x^2 -25 \)
• Efectuar \( (a+1)(a-1) \)
Cuadrado del primero menos cuadrado del segundo
\(= (a)^2 – (1)^2 \)
\(= a^2 –1\)
•\( (2x+3)(2x-3)\)
Cuadrado del primero menos cuadrado del segundo
\(= (2x)^2 – (3)^2 \)
\(= 4x^2 – 9\)
•\( ( x^2+y^3 )( x^2-y^3) \)
Cuadrado del primero menos cuadrado del segundo
\(= (x^2)^2 – (y^3)^2 \)
\( = x^4 – y^6 \)
•\( ( x^a+y^b )( x^a-y^b) \)
Cuadrado del primero menos cuadrado del segundo
\(= (x^a)^2 – (y^b)^2 \)
\( = x^{2a} – y^{2b} \)
• \( ( \sqrt{x}+\sqrt{y} )( \sqrt{x}-\sqrt{y} ) \)
Cuadrado del primero menos cuadrado del segundo
\(= ( \sqrt{x})^2-(\sqrt{y} )^2 \)
\( = x-y \)
[sc name=»adsterra» ][/sc]
Binomio al Cubo
Fórmula Corta \( \bbox[10px,border: 1px solid #0084d1] { (a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b) } \)
Fórmula desarrollada \( (a+b)^3=a^3 +b^3 + 3a^2b+3ab^2\)
Fórmula Corta \( \bbox[10px,border: 1px solid #0084d1] { (a-b)^3=a^3-b^3-3ab(a-b) } \)
Fórmula desarrollada \( (a-b)^3=a^3 -b^3 – 3a^2b+3ab^2\)
Ejemplos
Aplicando para la suma \( (a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b) \)
• Efectuar \( (x+1)^3 \)
En lugar de a y b se reemplaza por x y 1
\( (x+1)^3 = (x)^3 +(1)^3 +3(x)(1)(x+1) \)
\(= x^3 + 1 +3x(x+1) \)
• Desarrollar\( (m+2)^3 \)
En lugar de a y b reemplazamos por m y 3
\( (m+2)^3 = (m)^3 +(2)^3 +3(m)(2)(m+2) \)
\(= m^3 + 8 +6m(m+2) \)
• Desarrollar\( (y^2+2)^3 \)
En lugar de a y b reemplazamos por \(y^2\) y 2
\( (y^2+2)^3 = (y^2)^3 +(2)^3 +3(y^2)(2)(y^2+2) \)
\(= y^6 + 8 +6y^2(y^2+2) \)
• \( (2x+3y)^3= (2x)^3 +(3y)^3 +3(2x)(3y)(2x+3y) \)
\(= 8x^3 + 27y^3 +18xy(2x+3y) \)
Aplicando para la diferencia \( (a-b)^3=a^3-b^3-3ab(a-b) \)
• Efectuar \( (x-1)^3 \)
En lugar de a y b se reemplaza por x y 1
\( (x-1)^3 = (x)^3 -(1)^3 -3(x)(1)(x-1) \)
\(= x^3 – 1 -3x(x-1) \)
• \( (2m-3n)^3= (2m)^3 -(3n)^3 -3(2m)(3n)(2m-3n) \)
\(= 8m^3 – 27n^3 -18mn(2m-3n) \)
Identidad de Steven
\[ \bbox[10px,border: 1px solid #0084d1] { (x+\color{#0693e3}{a})(x+\color{#0693e3}{b} )=x^2+\underbrace{ ( \color{#0693e3}{a}+\color{#0693e3}{b} ) }_{suma}x+\underbrace{ \color{#0693e3}{a.b}}_{producto} } \, \, \,\] Ejemplos
• Efectuar (x+2)(x+3)
Suma +2+3= +5
Multiplica (+2 )(+3 ) = +6
Luego reemplaza
(x+2)(x+3)=x2+5x +6
• Efectuar (x+5)(x-3)
Se suma+5-3=+2
Multiplica (+5)(-3)=-15
Luego reemplaza
(x+5)(x-3)=x2+2x-15
• Efectuar (a-1)(a-2)
Se suma -1-2=-3
Multiplica (-1)(-2)=+2
Entonces (a-1)(a-2)=a2-3a+2
• Efectuar (ax+1)(ax+2)
Se suma +1+2=+3
Multiplica (+1)(+2)=+2
Entonces
(ax+1)(ax+2)=(ax)2+3ax+2
=a2x+3ax+2
• Efectuar \( (x^2 +3)(x^2 +7) \)
Se suma +3+7=+10
Multiplica (+3)(+7)=21
\( ( x^2 +3)( x^2 +7)= (x^2)^ 2+10x^2+21 \)
\( = x^4+10x^2+21 \)
• Multiplicar \( Q=(m+1)(m-1)(m+3)(m-3) \)
Aplicando diferencia de cuadrados
\( (m+1)(m-1)=m^2-1^2 =(m^2-1) \)
\( (m+3)(m-3)=m^2-3^2 =(m^2-9) \)
Reemplazamos
\( Q=(m^2-1)(m^2-9) \)
Aplicando la identidad de Steven
suma -1-9=-10
multiplica (-1)(-9)= 9
\( Q=(m^2)^2–10m^2 +9 \)
\( Q=m^4–10m^2 +9 \)
Suma y Diferencia de Cubos
Suma de Cubos
| \( a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) \) |
Diferencia de Cubos
| \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) \) |
Ejemplos para la suma de cubos
• Efectuar \( x^3+8 \)
Dándole forma de cubos
\( x^3+2^3=(x+2)(x^2-x.2+2^2) \)
\( =(x+2)(x^2-2x+4) \)
• Efectuar \( x^3+1 \)
Dándole forma de cubos
\( x^3+1^3=(x+1)(x^2-x.1+1^2) \)
\( =(x+1)(x^2-x+1) \)
• Efectuar \( m^6+n^6 \)
Dándole forma de cubos
\( (m^2)^3+(n^2)^3=(m^2+n^2)[(m^2)^2-m^2n^2+(n^2)^2] \)
\( =(m^2+n^2)[m^4-m^2n^2+n^4] \)
Ejemplos para la diferencia de cubos
• Efectuar \( x^3-8 \)
Dándole forma de cubos
\(x^3-2^3 =(x-2)(x^2+x.2+2^2) \)
\( =(x-2)(x^2+2x+4) \)
• Efectuar \( x^3-1 \)
Dándole forma de cubos
\(x^3-1^3 =(x-1)(x^2+x.1+1^2) \)
\( =(x-1)(x^2+x+1) \)
• Efectuar \( m^6-n^6 \)
Dándole forma de cubos
\( (m^2)^3-(n^2)^3=(m^2-n^2)[(m^2)^2+m^2n^2+(n^2)^2] \)
\( =(m^2-n^2)[m^4+m^2n^2+n4] \)
Cuadrado de un Trinomio
\[ \bbox[10px,border: 1px solid #0084d1] { (a+b+c)^2=a^2 + b^2+c^2+2ab+2ac+2bc } \]Ejemplos
• \( (m+n+1)^2 \)
Aplicamos la fórmula para \(a=m\), \(b=n\) , \(c=1\)
\( (m+n+1)^2 = (m)^2+(n)^2+(1)^2+2(m)(n)+2(m)(1)+2(n)(1) \)
\( = m^2+n^2+1+2mn+2m+2n \)
• \( (2x+3y-z)^2 \)
Aplicamos la fórmula para \(a=2x\), \(b=3y\) , \(c=-z\)
\( (2x+3y-z)^2 = (2x)^2+(3y)^2+(-z)^2+2(2x)(3y)+2(2x)(-z)+2(3y)(-z) \)
\( = 4x^2+9y^2+z^2+12xy-4xz-6yz \)
Cubo de un Trinomio
\[ \bbox[10px,border: 1px solid #0084d1] { (a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(a+c)(b+c) } \] ó También
\( (a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3a^2b+3a^2c+3b^2a+3b^2c+3c^2a+3c^2b +6abc \)
Identidad de Argand
\[ \bbox[10px,border: 1px solid #0084d1] { (a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)=(a^4+a^2b^2+b^4) } \]
Ejemplos
• \( (m^2+mn+n^2)(m^2-mn+n^2)=(m^4+m^2n^2+n^4) \)
•\( (x^2+x+1)(x^2-x+1) =(x^4+x^2+1)\)
Identidades Condicionales
1. Si \(a+b+c=0 \)
Entonces se cumple
• \( a^2+b^2+c^2=-2(ab+ac+bc) \)
• \( a^3+b^3+c^3= 3abc \)
3. si \( x^2+y^2+z^2=0 \)
Entonces se cumple x=0; y=0; z=0
2. Si \(x^2+y^2+z^2=xy+xz+yz \)
Entonces se cumple x=y=z
Problemas Resueltos
Para resolver problemas tenemos que haber comprendido los ejemplos de productos notables.
Nivel Básico
1. Demuestre la identidad de Legendre
\( (a+b)^2+(a-b)^2=2(a^2+b^2) \)
Solución
Aplicando binomio al cuadrado
\((a+b)^2+(a-b)^2 \)
\(= a^2+2ab+b^2 + a^2-2ab +b^2\)
Reducimos términos semejantes
\( = a^2+\cancel{2ab}+b^2 + a^2-\cancel{2ab} +b^2\)
\( = 2a^2+2b^2 \)
Por lo tanto
\( (a+b)^2+(a-b)^2= 2(a^2 +b^2) \)
2. Demuestre la 2da. identidad de legendre
\( (a+b)^2-(a-b)^2=4ab\)
Solución
\( (a+b)^2-(a-b)^2=a^2+2ab+b^2 -( a^2-2ab +b^2)\)
\( (a+b)^2-(a-b)^2=a^2+2ab+b^2 – a^2+2ab -b^2\)
Reducimos términos semejantes
\( (a+b)^2-(a-b)^2=\cancel{a^2}+2ab+\cancel{b^2} – \cancel{a^2}+2ab -\cancel{b^2})\)
\( (a+b)^2-(a-b)^2=4ab\)
3. Si \( x+ \displaystyle \frac{1}{x} =3 \)
Hallar \( x^2+ \displaystyle \frac{1}{x^2} \)
Solución
Elevando al cuadrado ambos lados
\( (x+ \displaystyle \frac{1}{x})^2 =(3)^2 \)
Aplicando binomio al cuadrado
\( (x)^2 +2(x)( \displaystyle \frac{1}{x}) + \displaystyle ( \frac{1}{x} )^2 =9 \)
Simplificando
\( x^2 +2( \cancel{x})( \displaystyle \frac{1}{ \cancel{x} }) + \displaystyle \frac{1}{x^2} =9 \)
\( x^2 +2 +\displaystyle \frac{1}{x^2}=9 \)
Por lo tanto
\( x^2 +\displaystyle \frac{1}{x^2}=7 \)
4. Si \( x+ \displaystyle \frac{1}{x} =2\)
Hallar \( x^4+ \displaystyle \frac{1}{x^4} \)
Solución
Elevando al cuadrado ambos lados
\( (x+ \displaystyle \frac{1}{x})^2 =(2)^2 \)
\( (x)^2 +2(x)( \displaystyle \frac{1}{x}) + \displaystyle ( \frac{1}{x} )^2 =4 \)
\( x^2 +2 +\displaystyle \frac{1}{x^2}=4 \)
\( x^2 +\displaystyle \frac{1}{x^2}=2 \)
Elevando al cuadrado otra vez
\( (x^2+ \displaystyle \frac{1}{x^2})^2 =(2)^2 \)
\( (x^2)^2 +2(x^2)( \displaystyle \frac{1}{x^2}) + \displaystyle ( \frac{1}{x^2} )^2 =4 \)
\( x^4 +2 +\displaystyle \frac{1}{x^4}=4 \)
Por lo tanto \( x^4 +\displaystyle \frac{1}{x^4}=2 \)
5. Si \( a+b=\sqrt{10} \)
Además \( a.b=3 \)
Calcular \( a^2+b^2 \)
Solucion
Elevando al cuadrado ambos lados
\( (a+b)^2=( \sqrt{10} )^2 \)
Aplicando binomio al cuadrado
\( a^2 +2ab +b^2=10 \)
Por dato tenemos a.b=3
\( a^2 +2(3) +b^2=10 \)
Por lo tanto
\( a^2 +b^2=4\)
Repasa las fórmulas de los Productos Notables
6. Si se cumple x+y=2
Además x.y= 1
Hallar \(x^3+y^3 \)
Solución
Elevando al cubo ambos lados
\( (x+y)^3=(2)^3 \)
Aplicando binomio al cubo
\( x^3 +y^3 +3xy(x+y)=8 \)
Por dato x.y=1 , x+y=2
\( x^3 +y^3 +3(1)( 2) =8 \)
Entonces \( x^3 +y^3 =2\)
7. Efectuar
\( Q= (a+b)(a-b)(a^2+b^2) \)
Solución
Aplicando diferencia de cuadrados
\( Q= \underbrace{(a+b)(a-b)}_{a^2-b^2}(a^2+b^2) \)
\( Q= (a^2-b^2)(a^2+b^2) \)
Tenemos otra diferencia de cuadrados
\( Q= \underbrace{(a^2-b^2)(a^2+b^2)}_{a^4-b^4 } \)
Por lo tanto
\( Q= a^4-b^4 \)
8. Reducir
\( P=(x+y)(x-y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)-x^8 \)
Solución
Se aplica diferencia de cuadrados
\( P= \underbrace{(x+y)(x-y)}_{x^2-y^2}(x^2+y^2)(x^4+y^4)-x^8 \)
\( P=(x^2-y^2)(x^2+y^2)(x^4+y^4)-x^8 \)
otra diferencia de cuadrados
\( P=\underbrace{(x^2-y^2)(x^2+y^2)}_{x^4-y^4}(x^4+y^4)-x^8 \)
\( P=(x^4-y^4)(x^4+y^4)-x^8 \)
Por diferencia de cuadrados
\( P=\underbrace{(x^4-y^4)(x^4+y^4)}_{x^8-y^8}-x^8 \)
\( P=(x^8-y^8)-x^8 \)
\( P=\cancel{x^8}-y^8-\cancel{x^8} \)
Por lo tanto
\( P= -y^8\)
9. Reducir
\( Q= \sqrt[16]{ 3(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)+1 } \)
Solución
\(3=4-1=2^2-1\) se reemplaza
\( Q= \sqrt[16]{ (2^2-1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)+1 } \)
Aplicando diferencia de cuadrados
\( Q= \sqrt[16]{ \underbrace{(2^2-1)(2^2+1)}_{2^4-1}(2^4+1)(2^8+1)+1 } \)
\( Q= \sqrt[16]{ (2^4-1)(2^4+1)(2^8+1)+1 } \)
Otra diferencia de cuadrados
\( Q= \sqrt[16]{ \underbrace{(2^4-1)(2^4+1)}_{2^8-1}(2^8+1)+1 } \)
\( Q= \sqrt[16]{ (2^8-1)(2^8+1)+1 } \)
otra diferencia de cuadrados
\( Q= \sqrt[16]{ (2^{16}-1)+1 } \)
Enotnces \(Q=\sqrt[16]{ 2^{16}} =2\)
10. Reducir
\( M= \sqrt{(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)+1} \)
Solución
Agrupamos convenientemente
\( M= \sqrt{\underline{(a+1)(a+3)} .\underline{(a+2)(a+3)}+1} \)
Aplicando la identidad de Steven
\( M= \sqrt{(a^2+5a+4 )(a^2+5a+6 )+1} \)
Se hace cambio de variable \( a^2+5a=m \)
\( M= \sqrt{(m+4 )(m+6 )+1} \)
\( M= \sqrt{m^2+10m+24+1} \)
Se tiene un trinomio cuadrado perfecto
\( M= \sqrt{m^2+10m+25} \)
\( M= \sqrt{(m+5)^2} \)
\( M= m+5\) recuerda \(m=a^2+5a\)
\(M=a^2+5a+5\)
Nota: Los cambios de variable se realizan para hacer más corta la solución.
11. Si a+b+c=0
Calcular:
\( N= \displaystyle \frac{ (a+b+2c)^2 + (a+c+2b)^2 + (b+c+2a)^2 }{ab+bc+ac} \)
Solución
Desdoblando para agrupar a+b+c
\(N=\displaystyle \frac{ ( a+b+c+c)^2+(a+c+b+b)^2+(b+c+a+a)^2 }{ab+bc+ac} \)
Reemplazando a+b+c=0
\(N=\displaystyle \frac{ (0+c)^2+(0+b)^2+(0+a)^2 }{ab+bc+ac} \)
\(N=\displaystyle \frac{ c^2+b^2+a^2 }{ab+bc+ac} \)
Por identidad condicional
sia+b+c=0 entonces \(a^2+b^2+c^2=-2(ab+bc+ac) \)
Reemplazando
\(N=\displaystyle \frac{ -2(ab+bc+ac) }{ab+bc+ac} \)
\( N=-2 \)