Origen de los Números Complejos
Los números complejos se originan al resolver ecuaciones como x² + 1 = 0, cuyas soluciones son \( \sqrt{-1} \) ,esta ecuación no admite soluciones en el campo de los números reales. Entonces se define el campo de los números complejos que englobe estas soluciones y a los números reales que conocemos.
Cantidad Imaginaria
Se denomina cantidad imaginaria a la raíz par de un número negativo.
Ejemplos:
a) \( \sqrt{-3} \) es una cantidad imaginaria
b) \( \sqrt{-16} \) es una cantidad imaginaria
c) \( \sqrt{-25} \) es una cantidad imaginaria
Unidad Imaginaria
A la cantidad imaginaria «\( \sqrt{-1} \)» se le denomina unidad imaginaria y se le representa por la letra «i».
Es decir : \( \bbox[10px,border: 1px solid #0084d1] { i=\sqrt{-1} } \)
Ejemplos
a) \( \sqrt{-16} =\underbrace{\sqrt{16}}_{4}\,\underbrace{\sqrt{-1}}_{i}= 4i \)
b) \( \sqrt{-25} =\sqrt{25}\,\sqrt{-1}= 5i \)
c) \( \sqrt{-10} =\sqrt{10}\,\sqrt{-1}= \sqrt{10}\,i \)
d) \( \sqrt{-7} =\sqrt{7}\,\sqrt{-1}= \sqrt{7}\,i \)
e) \( \sqrt{-12} =\sqrt{4\times 3}\,\sqrt{-1}= 2\sqrt{3}\,i \)
Potencias de la Unidad Imaginaria
Estudiemos el comportamiento de las potencias del número imaginario «\(i\)»
\( \color{#0693e3}{i^1}=i \)
\( \color{#0693e3}{i^2} =(\sqrt{-1})^2= -1 \)
\( \color{#0693e3}{i^3} =i^2.i=-1.i=-i \)
\( \color{#0693e3}{i^4} =i^2.i^2=(-1)(-1)=1\)
En general el exponente se puede expresar como un múltiplo de cuatro «4k».
\( \mathop {4}\limits^{\circ} =4k\) ← se lee múltiplo de cuatro
12 = \( 4(3) = \mathop {4}\limits^{\circ} \) se lee 12 es múltiplo de 4
| Tabla de Potencias de «i» |
| \( i^{ \mathop {4}\limits^{\circ} +1} \, = \color{#0693e3}{i^1}\,=i\) \( i^{ \mathop {4}\limits^{\circ} +2} \,= \color{#0693e3}{i^2}\, = -1\) \( i^{ \mathop {4}\limits^{\circ} +3}\,=\color{#0693e3}{i^3} \, =-i\) \( i^{ \mathop {4}\limits^{\circ} } \quad =\color{#0693e3}{i^4}\,=1\) |
Recuerda i0=1 , también \(i^{-1}=\cfrac{1}{i}\)
Ejemplos
a) Calcular \( i^{25} \)
Se divide 25 entre 4
Es decir 25 es múltiplo de 4 con resto 1
25 = 4(6) + 1= \(\mathop {4}\limits^{\circ}\)+1
\( i^{25}=i^{ \mathop {4}\limits^{0}+1 }=i\) Respuesta
Nota :Un número es múltiplo de 4, si sus dos últimas cifras son múltiplo de cuatro. Es decir solo vamos a trabajar con las 2 últimas cifras del exponente.
b) Calcular \( i^{1918} \)
Recuerda solo se trabaja con las dos últimas cifras del exponente
Se divide 18 entre 4
Entonces 18 es múltiplo de 4 con resto 2
\( i^{1918}=i^{ \mathop {4}\limits^{0}+2 }=i^2=-1\) Respuesta
c) Calcular \( i^{27891} \)
Recuerda solo se trabaja con las dos últimas cifras del exponente
Se divide 91 entre 4
Entonces 91 es múltiplo de 4 con resto 3
\( i^{27891}=i^{ \mathop {4}\limits^{0}+3 }=i^3=-i\) Respuesta
d) Calcular \( i^{312840} \)
Solo se trabaja con las 2 últimas cifras del exponente
40 es \( \mathop {4}\limits^{0} \) entonces
\( i^{312840} = i^{\mathop {4}\limits^{0}} =1 \)
Ahora inténtalo directamente!!
e) Calcular \( i^{343}= i^{\mathop {4}\limits^{0}+3} =-i \)
f) Efectuar \( i^{4621}= i^{\mathop {4}\limits^{0}+1} =i \)
g) Calcular \( i^{642}= i^{\mathop {4}\limits^{0}+2} =-1 \)
h) Efectuar \( i^{16}= i^{\mathop {4}\limits^{0}} =1 \)
i) Calcular \( i^{10}= i^{\mathop {4}\limits^{0}+2} =-1 \)
j) Efectuar \( i^{20}= i^{\mathop {4}\limits^{0}} =1 \)
k) Calcular \( i^{5}= i^{\mathop {4}\limits^{0}+1} =i \)
l) Efectuar \( i^{10000005}= i^{\mathop {4}\limits^{0}+1} =i \)
Propiedades
a) \( i+i^2+ i^3+i^4 =0 \)
En general \( i^1+i^2+i^3+…+i^{4n}=0 \)
b) \( i^{-1}=-i \)
En general \( i^{-k}=(-1)^ki^k \)
c) \( (i^{\mathop {4}\limits^{0}}+1 )^n=i^{\mathop {4}\limits^{0}} +1 \);
\( (i^{\mathop {4}\limits^{0}}-1 )^n=i^{\mathop {4}\limits^{0}} +1 \); n par
\( (i^{\mathop {4}\limits^{0}}-1 )^{n}=i^{\mathop {4}\limits^{0}} -1 \) ,solo si n es impar.
d) \( 2^n= \mathop {4} \limits {0} \) para n entero mayor que 1
Resultados Conocidos
a) \( (1+i)^2=2i \)
b) \( (1-i)^2=-2i \)
c) \( \cfrac{(1+i)}{(1-i)}=i \)
d) \( \cfrac{(1-i)}{(1+i)}=-i \)
Estos resultados importantes van a ser demostrados en los ejercicios resueltos
Ejercicios Resueltos Cantidad Imaginaria
Es importante tener en mente la tabla de potencias de «i» . así como las observaciones y los resultados importantes.
Nivel Básico
1. Efectuar:
\( Q= \sqrt{-16}+\sqrt{-25}+\sqrt{-36}\)
Solución
\( Q= \sqrt{16} \,\sqrt{-1} +\sqrt{25} \, \sqrt{-1}+\sqrt{36} \,\sqrt{-1}\)
Sabemos \( \sqrt{-1}=i \)
\( Q= 4i+5i+6i \)
\( Q= 15i \)
2. Calcular
\( K=i+i^2+i^3+i^4 \)
Solución
Recuerda i1=i; i2=-1; i3=-i; i4=1
Reemplazamos
\( K=i-1-i+1 \)
\( K=0 \)
Entonces \( i^1+i^2+i^3+i^4 \) siempre es cero.
3. Demostrar
\( (1+i)^2=2i \)
Solución
Se aplica \( \require{cancel} (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \)
Dnde a es 1 y b es «i»
\( (1+i)^2= 1^2+2(1)(i)+i^2 \)
recuerda i2=-1
\( (1+i)^2= 1+2i+-1 \)
\( (1+i)^2= 2i \)
4. Demostrar
\( (1-i)^2=-2i \)
Solución
Aplicando \( (a+b)^2=a^2-2ab+b^2 \)
\( (1-i)^2= 1^2-2(1)(i)+i^2 \)
recuerda i2=-1
\( (1-i)^2= 1-2i+-1 \)
\( (1-i)^2= -2i \)
5. Calcular
\( Q= (1+i)^8 \)
Solución
\( Q=[ (1+i)^2]^4 \)
Recuerda \( (1+i)^2=2i \)
\( Q=[ 2i]^4\)
\( Q= 2^4.i^4 \)
\( Q= 16.1 \)
\( Q=16 \)
6. Efectuar
\( E= \cfrac{1+i^3}{1-i^9} \)
Solución
Aplicando las potencias de «i»
\( i^3=-i \)
\( i^9=i^{\mathop {4} \limits^{0}+1}=i \)
Reemplazando
\( E= \cfrac{1+(-i)}{1-(i)} \)
\( E= \cfrac{1-i}{1-i}=1 \)
7. Hallar «n»
\( (1+i)^n=32i \)
Solución
El exponente se escribe como \( n=2.\cfrac{n}{2} \)
\( \displaystyle (1+i)^{ 2.\frac{n}{2}}=32i \)
\( [(1+i)^2]^{ \frac{n}{2}}= 32i \)
\( (2i)^{\frac{n}{2}}=32i \)
Escribiendo en base 2
\( 2^{ \frac{n}{2}}. i^{ \frac{n}{2}}=2^5.i \)
Igualando bases iguales
\( 2^{ \frac{n}{2}}=2^5 \)
Igualando exponentes
\( \frac{n}{2}=5 \)
\( n=10 \)
8. Demostrar
\( i^{-1}= -i \)
Solución
Por teoría de exponente
\( i^{-1}= \cfrac{1}{i}\)
Multiplicando numerador y denominador por «i»
\( i^{-1}= \cfrac{1.i}{i.i}= \cfrac{i}{i^2}=\cfrac{i}{-1}=-i \)
Por lo tanto \( i^{-1}=-i \)
9. Calcular
\( M=i^{20}+i^{42}+ i^{37} \)
Solución
\( M=i^{ \mathop{4} \limits^{0}} +i^{ \mathop{4} \limits^{0}+2}+i^{ \mathop {4} \limits^{0} +1} \)
\( M=1-1+ i \)
Por lo tanto obtenemos
\( M= i \)
10. Demostrar
\( i^{-k}=(-1)^k.i^k \)
Solución
Recuerda \( -k=-1\times k \)
\( i^{-k}=i^{-1\times k} \)
\(= (i^{-1})^k\)
Recuerda \( i^{-1}=-i \)
\(= (-i)^k\)
\(= (-1. i)^k\)
\( = (-1)^k i^k\)
11. Reducir la expresión
Q=i4+i6+i8+i10+…+i100+i102
Solución
\( Q= i^{\mathop {4} \limits^{0}}+ i^{\mathop {4} \limits^{0}+2}+i^{\mathop {4} \limits^{0}}+i^{\mathop {4} \limits^{0}+2}+…+i^{\mathop {4} \limits^{0}}+i^{\mathop {4} \limits^{0}+2} \)
Q= 1+(-1)+1+(-1) +…+ 1+(-1)
Q= 0+0 +…+ 0
Entonces
Q= 0
12. Reducir
R= i+i2+i3+i4+i5+i6+…+i36
Solución
Vamos aplicar la propiedad
i1+i2+i3+i4+i5+i6+….+i4n=0
R= i+i2+i3+i4+i5+i6+…+i4×9
Es decir
R= i+i2+i3+i4+i5+i6+…+i4n
R=0
13. Calcular
\( K=\cfrac{ i^{12}+i^{16}-2i^{18} }{ i^{8}-i^{10} } \)
Solución
Se escribe los exponentes como múltiplos de 4.
\( K=\cfrac{ i^{\mathop {4}\limits^{0}}+i^{\mathop {4}\limits^{0}}-2i^{\mathop {4}\limits^{0}+2} }{ i^{\mathop {4}\limits^{0}}-i^{\mathop {4}\limits^{0}+2} } \)
Recuerda las potencias de «i»
\( i^{ \mathop {4} \limits^{0}}=1\);
\( i^{ \mathop {4} \limits^{0}+2}=-1\)
Reemplazamos
\(K= \cfrac{1+1-2(-1)}{1-(-1)}=\cfrac{4}{2} =2\)
14. Calcular
\( M=i^k+i^{k+1}+i^{k+2}+i^{k+3} \)
Solución
Por teorçia de exponente \(a^{m+n}=a^m.a^n\)
\( M=i^k+i^k.i^1+i^k.i^2+i^k.i^3 \)
Se factoriza la ik
\( M=i^k(1+i^1+i^2+i^3) \)
Sabemos i1=i; i2=-1; i3=-i; i4=1
Reemplazamos
\( M=i^k( 1+i+-1- i)\)
\( M=i^k(0)\)
\( M=0\)
15. Demostrar
\( \cfrac{1+i}{1-i}= i \)
Solución
Multiplicamos numerador y denominador por \( (1+i)\)
\( \cfrac{1+i}{1-i}= \cfrac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} \)
\( \cfrac{1+i}{1-i}= \cfrac{(1+i)^2}{1-i^2} \)
\( \cfrac{1+i}{1-i}= \cfrac{2i}{1-(-1)} \)
Entonces tenemos
\( \cfrac{1+i}{1-i}=\cfrac{2i}{2}=i\)
16. Demostrar
\( \cfrac{1-i}{1+i}= -i \)
Solución
Multiplicamos numerador y denominador por \( (1-i)\)
\( \cfrac{1-i}{1+i}= \cfrac{(1-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} \)
\( \cfrac{1-i}{1+i}= \cfrac{(1-i)^2}{1-i^2} \)
\( \cfrac{1-i}{1+i}= \cfrac{-2i}{1-(-1)} \)
Entonces tenemos
\( \cfrac{1-i}{1+i}=\cfrac{-2i}{2}=-i\)
17. Calcular
\( Q= \cfrac{ 1+i}{ 1 – \cfrac{1+i}{1- \cfrac{1+i}{1-i} } } \)
Solución
Se resuelve de abajo hacia arriba
Se sabe que \( \cfrac{1+i}{1-i}=\color{red}{i} \)
Reemplazamos y entonces obtenemos
\( Q= \cfrac{ 1+i}{ 1 – \cfrac{1+i}{1- \color{red}{i} } } \)
Otra vez \( \cfrac{1+i}{1-\color{red}{i} }=\color{blue}{i} \)
\( Q= \cfrac{ 1+i}{ 1- \color{blue}{i} } \)
Otra vez
\( Q= i \)
Números Complejos
Son aquellos números que están formados por una parte real y una parte imaginaria.
Sea Z un complejo entonces:
\[ \bbox[10px,border: 1px solid #0084d1] { z=\underbrace{a}_{parte\, real}+\underbrace{bi}_{parte\, imaginaria \;} } \]Ejemplos
a) 4+3i
b) 3+2i
c) 6-5i
Clases de Números Complejos
Complejo Real
Se denomina complejo real, cuando la parte imaginaria es nula.
Es decir: \(z= a+0i\)
Ejemplos
a) 4
b) -5
c) \( \sqrt{3}\)
Complejo Puro
Se denomina complejo puro, cuando la parte real es nula.
Es decir: z= 0+bi
Solo tiene parte imaginaria no tiene parte real
Ejemplos
a) 2i
b) -3i
c) \( \sqrt{5}\,i \)
Complejo Nulo
Se denomina complejo nulo, cuando la parte real y la parte imaginaria es nula.
Es decir: z=0+0i o simplemente z=0
Ejemplo
Si \(a+bi\) es un complejo nulo
Entonces \(a=0\) y \(b=0\)
Números Complejos Iguales
Dos complejos son iguales, cuando las partes reales y las partes imaginarias son iguales.
Es decir si: a+bi= c+di
Entonces a=c y b=d
Ejemplo
De la igualdad \( a+bi=8+4i \)
Entonces a=8 y b=4
Números Complejos Conjugados
Son aquellos complejos que tienen la misma parte resal pero de signos opuestos las partes imaginarias.
Sea \( z=a +bi \)
Su conjugado es
\( \bar{z}=a-bi\)
Ejemplos
• \(z=3+2i\) entonces \( \bar{z}=3-2i\)
• \(z=10-\sqrt{7}\,i\) entonces \( \bar{z}=10+\sqrt{7}\,i\)
Números Complejos Opuestos
Dos complejos son opuestos cuando tienen signos opuestos en la parte real como en la parte imaginaria.
Sea el complejo \( z=a+bi \)
El opuesto es:
\( z^*=-z=-(a+bi) \)
Entonces \( z^*=-a-bi \)
Es decir simplemente se cambia el signo a la parte real como a la parte imaginaria
Ejemplos
a) \(z=4+2i\) entonces \( z^*=-4-2i\)
b) \(z=-6-5i\) entonces \( z^*=6+5i\)
c) \(z=3-\sqrt{5}\,i\) entonces \( z^*=-3+\sqrt{5}\,i\)
En general \(z^*=-z \)
Representación de los Números Complejos
Representación Cartesiana
Todo número complejo puede representarse en el plano cartesiano, donde el eje x representa la parte real, y el eje y representa la parte imaginaria
Sea \(z=a+bi\) entonces
Forma cartesiana \(z=(a;b) \) 
Nota:
\( \lvert z\rvert \) Se denomina módulo del complejo z
\( \lvert z\rvert = \sqrt{a^2+b^2}\)
Rrepresentación Trigonométrica o Polar
Para representar un complejo en su forma trigonométrica es necesario conocer el radio vector y el ángulo que forma este radio vector y el eje real positivo.
• Módulo del complejo o radio vector(r)
\( r=\sqrt{a^2+b^2}\) ; \(r=\lvert z \rvert \)
• Argumento del complejo o ángulo ( \( \theta\) )
\( tan\,\theta =\cfrac{b}{a}\) ; entoncs \( \theta=arc\,tan \) (\( \cfrac{b}{a} \) )
Sea
\(z=\underbrace{a}_{rcos\,\theta}+\underbrace{b}_{rsen\,\theta}i\)
\( z=rcos\,\theta+i.rsen\,\theta\)
\( z=r(cos\,\theta+i\,sen\,\theta) \) Forma trigonométrica
Representación Exponencial de un Complejo
Es aquella que utiliza la base de los logaritmos neperianos «\(e\)», el módulo \( r \) y el ángulo «\( \theta \)».
• Recuerda la fórmula de Euler
\( \, e^{i\,\theta} =cos \, \theta +isen\theta \)
• Sea el complejo «z»
\(z=r( \underbrace{cos \, \theta +isen\theta)}_{e^{i\,\theta}} \)
\( z=r\, e^{i\,\theta} \) Forma exponencial o de Euler
Ejercicios Resueltos Números Complejos
1. Calcular M=\( (1+i)^6 \)
Solución
\( M=[(1+i)^2]^3 \)
Sabemos \( (1+i)^2=2i\)
\( M=[2i]^3 \)
\( M=2^3i^3 \)
Sabemos \(i^3=-i\)
\( M=8(-i)=-8i\)
2. Calcular un valor
\( E= \sqrt[5]{i} \)
Solución
Por las potencias de i
\( i^5=i^{ \mathop{4} \limits^{0} +1 }=i \)
Es decir en lugar de i ponemos \(i^5\)
\( E= \sqrt[5]{ i^5} \)
Simplificamos
\( E=i \)
3. Hallar un valor
\( N= \sqrt{2i} \)
Solución
Recuerde los resultados importantes
\( (1+i)^2=2i \)
Es decir en lugar de 2i se escribe \( (1+i)^2 \)
\( N= \sqrt{2i} \)
\(N= \sqrt{(1+i)^2} \)
Simplificamos
\( N= 1+i \)
4. Calcular un valor
\( N= \sqrt{ i+\sqrt[5]{i }} \)
Solución
Sabemos \( i^5=i^{ \mathop{4} \limits^{0} +1 }=i \)
Reemplazamos i po i5
\( N= \sqrt{ i+\sqrt[5]{i^5 } } \)
Simplificamos
\( N= \sqrt{ i+i \,}\)
\( N= \sqrt{ 2i}\)
Sbemos \( (1+i)^2=2i \)
\( N= \sqrt{ (1+i)^2}\)
\( N= 1+i \)
5. Hallar «b» si N es un número real
\( N=\cfrac{2+bi}{1+i} \)
Solución
Sea N = k un número real
\( \cfrac{\,2+bi\,}{1+i} = k \)
\( 2+bi=k(1+i) \)
\( 2+ai=k+ki \)
Entonces se iguala la parte real
k=2
Entonces se iguala la parte imaginaria
a=k =2
6. Hallar «a» si M es un complejo real
\( M=\cfrac{4+ai}{1+2i} \)
Solución
Sea M = k un número real
\( \cfrac{\,4+ai\,}{1+2i} = k \)
\( 4+ai=k(1+2i) \)
\( 4+ai=k+2ki \)
se iguala la parte real
k=4
se iguala la parte imaginaria
a=2k=2(4)=8
7. Hallar «p» si Z es un número imaginario
\( Z=\cfrac{p+12i}{i+3} \)
Solución
Sea Z = ki un número imaginario
\( \cfrac{\,p+12i\,}{i+3} = ki \)
\( p+12i=ki(i+3) \)
\( p+12i=ki^2+3ki \)
Recuerda i2=-1
\( p+12i=-k+3ki\)
Igualando la parte real
p=-k
Igualando la parte imaginaria
3k=12 entonces k=4
Por lo tanto p=-k=-4