Factorización de un polinomio es el procedimiento que transforma una suma de una expresión algebraica en un producto de sus factores. 
Factorización por Factor Común
Este método se aplica cuando todos los términos del polinomio tienen un factor común, que puede ser numérica o literal.
Factor Común Monomio
Se aplica cuando todos los términos del polinomio tienen como factor común un monomio.
Procedimiento para factorizar
1) Se extrae el factor común (letra o letras con el menor exponente)
2) El segundo factor se obtiene al dividir cada término del polinomio entre el factor común.
Ejemplos
1. Factorizar el siguiente polinomio
\(Q=ax+bx\)
Solución
Se extrae el factor común «\(x\)»
\( Q=a\color{#0693e3 }{x}+b\color{#0693e3 }{x} \)
\(Q=\color{#0693e3 }{x}( a+b) \) Respuesta.
2. Factorizar
\( M= x^2a+x^2b\)
Solución
Se extrae el factor común «\(x^2\)»
\( M=\color{#0693e3 } {x^2}a+\color{#0693e3 }{x^2}b \)
\( M=\color{#0693e3 } {x^2}(a+b)\) Respuesta.
3. Factorizar
\(N= ab+b \)
Solución
Se extrae factor común «b»
\(N= ab+b \)
\(N=a\color{#0693e3 }{b}+\color{#0693e3 }{b}.1 \)
\(N=\color{#0693e3 }{b}(a+1) \) Respuesta.
4. Factorizar:
\(P= 5ax+5ay+5az\)
Solución
Se extrae el factor común «5a»
\( P=\color{#0693e3}{5a}x+\color{#0693e3}{5a}y+\color{#0693e3}{5a}z \)
\( P=\color{#0693e3}{5a}( x+y+z ) \) Respuesta.
5. Factorizar
\(Q= x^2+2x \)
Solución
Se extrae el factor común «x»
\( Q= x^2+2x \)
\( Q=\color{#0693e3}{x}.x+2\color{#0693e3}{x} \)
\( Q=\color{#0693e3}{x}(x+2) \)
6. Factorizar:
\(R= a^3+a^2+a \)
Solución
El factor común es «\(a\)»
\( R=a^3+a^2+a \)
\( R=\color{#0693e3}{a}. a^2+\color{#0693e3}{a}.a+\color{#0693e3}{a}. 1\)
\(R=\color{#0693e3}{a}(a^2+a+ 1) \) Respuesta.
7. Factorizar
\(N=a^2x+a^2y\)
Solución
Se extrae el factor común «\( a^2\)»
\( N=\color{#0693e3}{a^2}x+\color{#0693e3}{a^2}y \)
\( N=\color{#0693e3}{a^2}(x+y)\) Respuesta.
8.Factorizar :
\(M=2xabc+3yabc+5zabc\)
Solución
factor común «abc»
\( M=2x\color{#0693e3}{abc}+3y\color{#0693e3}{abc}+5z\color{#0693e3}{abc} \)
\(M=\color{#0693e3}{abc}(2x+3y+5z)\) Respuesta.
9. Factorizar:
\(P= m^2n+mn^2 \)
Solución
Recuerda \(m^2=m.m \) y \(n^2=n.n \)
\(P= m.m.n+m.n.n \)
\(P= m\color{#0693e3}{mn}+\color{#0693e3}{mn}n \)
Se extrae el factor común «\(\color{#0693e3}{mn}\)»
\( P=\color{#0693e3}{mn}(m+n) \) Respuesta.
10. Factorizar :
\( Q=a^2b^7+a^5b^4\)
Solución
El factor común son las letras comunes con el menor exponente \(a^2b^4\)
\(Q= a^2b^7+a^5b^4 \)
\(Q=\color{#0693e3}{a^2b^4} .b^3+\color{#0693e3}{a^2}.a^3.\color{#0693e3}{b^4} \)
Se extrae el factor común \(a^2b^4 \)
\( Q=\color{#0693e3}{a^2b^4}( b^3+a^3 ) \) Respuesta.
11. Factorizar \(R=10x+15y\)
Solución
Se extrae el factor común «5»
\(R=\underbrace{10}_{5\times2}x+\underbrace{15}_{5\times3}y \)
\(R=\color{#0693e3}{5}.2x+\color{#0693e3}{5}.3y\)
factor común «5»
\( R=\color{#0693e3}{5}(2x+3y) \)
12. Factorizar \(N=3a+12b\)
Solución
\(N=3a+\underbrace{12}_{3\times 4}b \)
\(N=\color{#0693e3}{3}a+\color{#0693e3}{3}.4b\)
Factor común «3»
\(N=\color{#0693e3}{3}(a+4b)\) Respuesta.
13. Factorizar \( M=15a+20b\)
Solución
Factor común «5»
\(M= \underbrace{15}_{\color{#0693e3}{5}x3}a+\underbrace{20}_{\color{#0693e3}{5}x4}b \)
\(M=\color{#0693e3}{5}(3a+4b)\) Respuesta.
14. Factorizar \( Q=a^2+4a\)
Solución
\(Q= \underbrace{a^2}_{a.a}+4a \)
\( Q=a.\color{#0693e3}{a}+4\color{#0693e3}{a}\)
Factor común «a»
\(Q=\color{#0693e3}{a}(a+4)\) Respuesta.
15. Factorizar \( R=a^3+a^2b\)
Solución
\( R=\underbrace{a^3}_{a^2.a}+a^2b \)
\( R=\color{#0693e3}{a^2}.a+\color{#0693e3}{a^2}b\)
Factor común «\(a^2\)»
\(R=\color{#0693e3}{a^2}(a+b)\) Respuesta.
16. Factorizar \(P=abc^3+ab^3c+a^3bc \)
Solución
\(P=ab\underbrace{c^3}_{c.c^2}+a\underbrace{b^3}_{b.b^2}c+\underbrace{a^3}_{a.a^2}bc \)
Todos tienen a,b y c se extrae factor común «abc»
\( P=\color{#0693e3}{abc}c^2+\color{#0693e3}{ab}b^2 \color{#0693e3}{c}+\color{#0693e3}{ a}a^2 \color{#0693e3}{ bc} \)
Se extrae factor común «abc»
\(P=abc(c^2+b^2+a^2)\)
Factor Común Polinomio
Cuando los términos de la expresión algebraica tienen como factor común un polinomio.
Procedimiento
1) Se extrae el factor común en este caso es un polinomio.
2) El segundo factor se obtiene al dividir cad término entre el factor común.
Ejemplos
1. Factorizar \( R=(a+b)m^2+(a+b)n \)
Solución
Se extrae el factor común polinomio «\((a+b)\)»
\( R=\color{#0693e3}{(a+b)}m^2+\color{#0693e3}{(a+b)}n \)
\(R=\color{#0693e3}{(a+b)}(m^2+n) \) Respuesta.
2. Factorizar \( Q= (m^2+n^2)a+(m^2+n^2)b\)
Solución
Se extrae el factor común polinomio «\( (m^2+n^2 )\)»
\( Q=\color{#0693e3}{(m^2+n^2)}a+\color{#0693e3}{(m^2+n^2)}b \)
\(Q=\color{#0693e3}{(m^2+n^2)}(a+b) \) Respuesta.
3. Factorizar \( M=2a(m+1)-(m+1)\)
Solución
El factor común es (m+1)
\( M=2a(m+1)-(m+1) \)
\(M=2a\color{#0693e3}{(m+1)}-\color{#0693e3}{(m+1)}.1\)
\( M=\color{#0693e3}{(m+1)}(2a-1) \) Respuesta.
4. Factorizar \(N= (a + 5)x + (a + 5)y -+(a + 5)z \)
Solución
Se extrae factor común polinomio»\( (a+5) \)»
\( N=\color{#0693e3}{(a + 5)}x + \color{#0693e3}{(a + 5)}y + \color{#0693e3}{(a + 5)} z \)
\(N=\color{#0693e3} {(a+5)}(x+y+z) \) Respusta.
Factorización por Agrupación de Términos
Se trata de agrupar términos para obtener un factor común.
Ejemplos
1. Factorizar:
\(M= ax + ay + bx + by \)
Solución
Agrupando convenientemente
\( M = (ax + ay) + (bx + by) \)
Extrayendo factor común
\( M = a(x + y) +b (x + y) \)
Extrayendo factor común «(x+y)»
\( M= (x + y)(a+b) \)
2. Factorizar:
\( Q= a^2x+a^2y+b^2x+b^2y \)
Solución
Agrupando adecuadamente
\( Q= (a^2x+a^2y)+(b^2x+b^2y) \)
\( Q= a^2(x+y)+b^2(x+y) \)
Se extrae factor común polinomio (x+y)
\( Q= (x+y)(a^2+b^2) \)
3. Factorizar
\(Q= a^2 + ab + ac + bc \)
Solución
Agrupando convenientemente
\( Q =(a^2 + ab) + (ac + bc) \)
\( Q =(a.a + ab) + (ac + bc) \)
\( Q=a(a + b) +c (a + b) \)
Factor común «(a+b)»
\( Q =(a + b)(a+c) \)
Factorización por Identidades
Este método consiste en aplicar de forma inversa los productos notables.
Factorización por Diferencia de Cuadrados
Es una diferencia de dos cuadrados perfectos. Para que un término sea cuadrado perfecto su exponentes tiene que ser par.
\[ \bbox[10px,border: 1px solid #0084d1] { a^2 – b^2 = (a+b)(a-b) } \]Procedimiento
1) Se extrae la raíz cuadrada de cada cuadrado perfecto.
Es decir: \( \sqrt{a^{2}}=\color{#0693e3}{a}\) y \( \sqrt{b^{2}}=\color{#0693e3}{b} \)
2) El primer factor es la suma de raíces cuadradas y el segundo factor es la diferencia de raíces cuadradas.
\( (\color{#0693e3}{a}+\color{#0693e3}{b})(\color{#0693e3}{a}-\color{#0693e3}{b})\)
Nota
Para extraer la raíz cuadrada de las variables es solo dividir su exponente entre 2.
∗ \( \sqrt{x^6}=x^{\frac{6}{2}}=x^3 \)
∗ \( \sqrt{a^6b^8c^{14} } = a^{\frac{6}{2}} b^{\frac{8}{2}} c^{\frac{14}{2}} =a^3b^4c^{7} \)
Ejemplos
1. Factorizar
\( m^2-n^2\)
Solución
\( \sqrt{m^2}=\color{#0693e3}{m}\) y \( \sqrt{n^2}=\color{#0693e3}{n}\)
\( m^2-n^2=(\color{#0693e3}{m})^2-(\color{#0693e3}{n})^2\)
\( =(\color{#0693e3}{m}+\color{#0693e3}{n})(\color{#0693e3}{m}-\color{#0693e3}{n}) \)
2. Factorizar
\( a^2-4\)
Solución
\( \sqrt{a^2}=\color{#0693e3}{a}\) y \( \sqrt{4}=\color{#0693e3}{2} \)
\( a^2-4=(\color{#0693e3}{a})^2-(\color{#0693e3}{2})^2\)
\( =(\color{#0693e3}{a}+\color{#0693e3}{2})(\color{#0693e3}{a}-\color{#0693e3}{2}) \)
3. Factorizar
\( a^2-1\)
Solución
\( \sqrt{a^2}=\color{#0693e3}{a}\) y \( \sqrt{1}=\color{#0693e3}{1} \)
\( a^2-1=(\color{#0693e3}{a})^2-(\color{#0693e3}{1})^2\)
\( =(\color{#0693e3}{a}+\color{#0693e3}{1})(\color{#0693e3}{a}-\color{#0693e3}{1}) \)
4. Factorizar
\( 4x^2-25\)
Solución
\( \sqrt{4x^2}=\color{#0693e3}{2x}\) y \( \sqrt{25}=\color{#0693e3}{5} \)
\( 4x^2-25=(\color{#0693e3}{2x})^2-(\color{#0693e3}{5})^2\)
\( =(\color{#0693e3}{2x}+\color{#0693e3}{5})(\color{#0693e3}{2x}-\color{#0693e3}{5}) \)
Factorización por Trinomio Cuadrado Perfecto
Para factorizar por el método del trinomio cuadrado perfecto se va utilizar el siguiente producto notable de izquierda a derecha.
\[ \bbox[10px,border: 1px solid #dc7400] { a^2 \color{#dc7400}{+}2ab+ b^2 = (a \color{#dc7400}{+}b)^2 } \] \[ \bbox[10px,border: 1px solid #dc7400] { a^2 \color{#dc7400}{-}2ab + b^2 = (a \color{#dc7400}{-} b)^2 } \] Procedimiento
Caso 1 trinomio cuadrado perfecto \( a^2 \color{#dc7400}{+}2ab+ b^2 \)
1) Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término.
Es decir: \( \sqrt{a^{2}}=\color{#0693e3}{a}\) y \( \sqrt{b^{2}}=\color{#0693e3}{b} \)
2) Separamos estas raíces por el signo del segundo término + y formamos el binomio al cuadrado \( ( \color{#0693e3}{a} \color{#dc7400}{+} \color{#0693e3}{b} )^2 \)
Caso 2 trinomio cuadrado perfecto \( a^2 \color{#dc7400}{-}2ab+ b^2 \) el binomio al cuadrado que se forma es con signo negativo \( ( \color{#0693e3}{a} \color{#dc7400}{-} \color{#0693e3}{b} )^2 \)
Ejemplos
Recuerda la forma del trinomio cuadrado perfecto
\( ( a)^2 +2(a )(b ) + ( b)^2 \)
\( ( a)^2 -2(a )(b ) + ( b)^2 \)
1. Factorizar
\( M=x^2+2xy+y^2 \)
Solución
\( \sqrt{x^2}=\color{#0693e3}{x}\) y \( \sqrt{y^2}=\color{#0693e3}{y}\)
El doble producto de estas raíces debe ser igual al segundo término.
\( 2 ( \color{#0693e3}{x} )( \color{#0693e3}{y} ) = 2xy \)
Por lo tanto verificamos que es un trinomio cuadrado perfecto
\( M= x^2 \color{#dc7400}{+}2( x)( y ) + y^2 \)
\( M = ( \color{#0693e3}{x} \color{#dc7400}{+} \color{#0693e3}{y} )^2 \) Factorizado.
2. Factorizar
\( N=a^2+2a+1 \)
Solución
\( \sqrt{a^2}=\color{#0693e3}{a}\) y \( \sqrt{1}=\color{#0693e3}{1}\)
El doble producto de estas raíces debe ser igual al segundo término.
\( 2 ( \color{#0693e3}{a} )( \color{#0693e3}{1} ) = 2a \)
Por lo tanto es un trinomio cuadrado perfecto
\(N= a^2 \color{#dc7400}{+}2( a)( 1) +1^2 \)
\( N= ( \color{#0693e3}{a} \color{#dc7400}{+} \color{#0693e3}{1} )^2 \) Factorizado.
3. Factorizar
\( Q=x^2+10x+25 \)
Solución
\( \sqrt{x^2}=\color{#0693e3}{x}\) y \( \sqrt{25}=\color{#0693e3}{5}\)
El doble producto de estas raíces debe ser igual al segundo término.
\( 2 ( \color{#0693e3}{x} )( \color{#0693e3}{5} ) = 10x \)
Entonces es un trinomio cuadrado perfecto
\( Q = x^2 +2( x)( 5) +5^2 \)
\( Q= ( \color{#0693e3}{x}+ \color{#0693e3}{5} )^2 \) Factorizado.
4. Factorizar
\( P=x^2+6x+9 \)
Solución
\( \sqrt{x^2}=\color{#0693e3}{x}\) y \( \sqrt{9}=\color{#0693e3}{3}\)
El doble producto de estas raíces debe ser igual al segundo término.
\( 2 ( \color{#0693e3}{x} )( \color{#0693e3}{3} ) = 6x \)
\( P= x^2 +2( x)( 3) +3^2 \)
\( P= ( \color{#0693e3}{x}+ \color{#0693e3}{3} )^2 \) Factorizado.
5. Factorizar
\( M=x^4+2x^2+1 \)
Solución
\( \sqrt{x^4}=\color{#0693e3}{x^2}\) y \( \sqrt{1}=\color{#0693e3}{1}\)
El doble producto de estas raíces debe ser igual al segundo término.
\( 2 ( \color{#0693e3}{x^2} )( \color{#0693e3}{1} ) = 2x^2 \)
\( M=(x^2)^2 +2( x^2)( 1) +1^2 \)
\( M= ( \color{#0693e3}{x^2}+ \color{#0693e3}{1} )^2 \) Factorizado.
6. Factorizar
\( N=a^6-2a^3+1 \)
Solución
\( \sqrt{a^6}=\color{#0693e3}{a^3}\) y \( \sqrt{1}=\color{#0693e3}{1}\)
El – doble producto de estas raíces debe ser igual al segundo término .
\( -2 ( \color{#0693e3}{a^3} )( \color{#0693e3}{1} ) = -2a^3 \)
\( N = ( \color{#0693e3}{a^3} )^2 -2( a^3)( 1) +( \color{#0693e3}{1} )^2 \)
\( N= ( \color{#0693e3}{a^3}- \color{#0693e3}{1} )^2 \) Factorizado.
7. Factorizar
\( N=4a^2-12a+9 \)
Solución
\( \sqrt{4a^2}=\color{#0693e3}{2a}\) y \( \sqrt{9}=\color{#0693e3}{3}\)
El \(-\) doble producto de estas raíces debe ser igual al segundo término .
\( -2 ( \color{#0693e3}{2a} )( \color{#0693e3}{3} ) = -12a \)
\( N= ( \color{#0693e3}{2a} )^2 -2( 2a)( 3) +( \color{#0693e3}{3} )^2 \)
\( N= ( \color{#0693e3}{2a}- \color{#0693e3}{3} )^2 \) Factorizado.
8. Factorizar
\( Q=m^4-2m^2n^2+n^4 \)
Solución
\( \sqrt{m^4}=\color{#0693e3}{m^2}\) y \( \sqrt{n^4}=\color{#0693e3}{n^2}\)
El \(-\) doble producto de estas raíces debe ser igual al segundo término .
\( -2 ( \color{#0693e3}{m^2} )( \color{#0693e3}{n^2} ) = -2m^2n^2 \)
\( Q=m^4-2m^2n^2+n^4 \)
\(Q= ( \color{#0693e3}{m^2} )^2 -2( m^2)( n^2) +( \color{#0693e3}{n^2} )^2 \)
\( Q= ( \color{#0693e3}{m^2}- \color{#0693e3}{n^2} )^2 \) Factorizado.
9. Factorizar
\( R=(m+n)^2+2(m+n)(x+y)+(x+y)^2 \)
Solución
\( \sqrt{(m+n)^2}=\color{#0693e3}{(m+n)}\) y \( \sqrt{(x+y)^2}=\color{#0693e3}{ (x+y) }\)
El doble producto de estas raíces debe ser igual al segundo término.
\( 2 \color{#0693e3}{ (m+n) (x+y)} = 2(m+n)(x+y) \)
\( R= (m+n)^2 +2( m+n)( x+y) + (x+y)^2 \)
\( R= [ \color{#0693e3}{ (m+n) }+ \color{#0693e3}{ (x+y) } ]^2 \)
\( R= ( m+n+x+y)^2 \) Factorizado.
10. Factorizar
\( R= x^2 +2 + \displaystyle \frac{1}{ x^2 } \)
Solución
\( \sqrt{x^2}=\color{#0693e3}{x}\) y \( \sqrt{ \displaystyle \frac{1}{ x^2 } }=\color{#0693e3}{ \displaystyle \frac{1}{ x } }\)
El doble producto de estas raíces debe ser igual al segundo término.
\( 2 \color{#0693e3}{ x}. \color{#0693e3}{ \displaystyle \frac{1}{ x } } = 2\)
\( R= x^2 +2 + \displaystyle \frac{1}{ x^2 } \)
\( R= ( \color{#0693e3}{x} )^2 +2x.\displaystyle \frac{1}{ x } + ( \displaystyle \color{#0693e3}{ \frac{1}{ x } } )^2 \)
\( R= ( \color{#0693e3}{x}+\displaystyle \color{#0693e3}{ \frac{1}{ x } } )^2 \)
Factorización Por Suma o Diferencia de Cubos
Factorizar una suma de cubos «\( a^3+b^3\)» o una diferencia de cubos «\(a^3-b^3\)» consiste en transformarlo en el producto de dos factores.
\[ \bbox[10px,border: 1px solid #dc7400] { a^3\color{#dc7400}{+}b^3 = (a\color{#dc7400}{+}b)(a^2\color{#dc7400}{-}ab+b^2) } \]\[ \bbox[10px,border: 1px solid #dc7400] { a^3\color{#dc7400}{-}b^3 = (a\color{#dc7400}{-}b)(a^2\color{#dc7400}{+}ab+b^2) } \]Procedimiento
Recuerda el exponente de un cubo es múltiplo de 3.
1) Se extrae la raíz cúbica del primer y segundo término.
Es decir: \( \color{#0693e3}{\sqrt[3]{ \color{black}{a^{3}}} }=\color{#0693e3}{a}\) y \( \color{#0693e3}{\sqrt[3]{b^{3}} }=\color{#0693e3}{b} \)
2) Luego formamos los dos factores
Para el caso de la suma de cubos el primer factor es una suma y el segundo factor el signo del térmno central es negativo
\( (a\color{#dc7400}{+}b)(a^2\color{#dc7400}{-}ab+b^2) \)
Para el caso de la diferencia de cubos el primer factor es una diferencia y el segundo factor el signo del término central pasa a positvio
\( (a\color{#dc7400}{-}b)(a^2\color{#dc7400}{+}ab+b^2) \)
Ejemplos
Los primeros ejemplos paso a paso los siguientes más directos.
1. Factorizar
\( x^3 +8 \)
Solución
Extraemos raíz cúbica a cada término
\( \sqrt[3]{x^3}=x \)
\( \sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{2^3}=2 \)
Ahora le damos la forma de una suma de cubos
\( x^3 +8= x^3 +2^3 \)
Aplicamos suma de cubos
\( a^3\color{#dc7400}{+}b^3=( a\color{#dc7400}{+}b )( a^2\color{#dc7400}{-}ab+b^2 ) \)
En lugar de a y b reemplazamos por x y 2.
\( x^3 \color{#dc7400}{+}2^3 = ( x\color{#dc7400}{+}2)[x^2\color{#dc7400}{-}(x)(2)+(2)^2 ] \)
\( x^3 \color{#dc7400}{+}2^3= ( x\color{#dc7400}{+}2)( x^2\color{#dc7400}{-}2x+4 ) \) Factorizado!!
2. Factorizar
\( m^3 +1 \)
Solución
Extraemos raíz cúbica a cada término
\( \sqrt[3]{m^3}=m \)
\( \sqrt[3]{1}=1 \)
Ahora le damos la forma de una suma de cubos
\( m^3 +1= m^3 +1^3 \)
Aplicamos suma de cubos
\( a^3\color{#dc7400}{+}b^3=( a\color{#dc7400}{+}b )( a^2\color{#dc7400}{-}ab+b^2 ) \)
En lugar de a y b reemplazamos por m y 1.
\( m^3 \color{#dc7400}{+}1^3 = ( m\color{#dc7400}{+}1)[m^2\color{#dc7400}{-}(m)(1)+(1)^2 ] \)
\( m^3 \color{#dc7400}{+}1^3= ( m\color{#dc7400}{+}1)( m^2\color{#dc7400}{-}m+1 ) \) Factorizado!!
3. Factorizar
\( m^6 +n^6 \)
Solución
Extraemos raíz cúbica a cada término
\( \sqrt[3]{m^6}=m^{\frac{6}{3}}=m^2 \)
\( \sqrt[3]{n^6}=n^{\frac{6}{3}}=n^2 \)
Ahora le damos la forma de una suma de cubos
\( m^6 +n^6 =(m^2)^3 +(n^2)^3 \)
Aplicamos suma de cubos
\( a^3\color{#dc7400}{+}b^3=( a\color{#dc7400}{+}b )( a^2\color{#dc7400}{-}ab+b^2 ) \)
En lugar de a y b reemplazamos por \(m^2\) y \(n^2\).
\( (m^2)^3 +(n^2)^3 = ( m^2\color{#dc7400}{+}n^2)[(m^2)^2\color{#dc7400}{-}(m^2)(n^2)+(n^2)^2 ] \)
\( (m^2)^3 +(n^2)^3= ( m^2\color{#dc7400}{+}n^2)( m^4\color{#dc7400}{-}m^2n^2+m^4 ) \) Factorizado!!
4. Factorizar
\( x^3+27 \)
Solución
Se extrae la raiz cúbica a cada término
\( \sqrt[3]{x^3}=x \) \( \sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3^3}=3 \)
Le damos forma de una suma de cubos
\( x^3+27 =x^3 +3^3 \)
Aplicamos suma de cubos
\( a^3\color{#dc7400}{+}b^3=( a\color{#dc7400}{+}b )( a^2\color{#dc7400}{-}ab+b^2 ) \)
En lugar de a y b reemplazamos por x y 3.
\( x^3 \color{#dc7400}{+}3^3 = ( x\color{#dc7400}{+}3)[x^2\color{#dc7400}{-}(x)(3)+(3)^2 ] \)
\( x^3 \color{#dc7400}{+}3^3= ( x\color{#dc7400}{+}3)( x^2\color{#dc7400}{-}3x+9 ) \) Factorizado!!
5. Factorizar
\( x^{21}+27 \)
Solución
Se extrae la raiz cúbica a cada término
\( \sqrt[3]{x^{21}}=x^{\frac{21}{3}}= x^7 \)
\( \sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3^3}=3 \)
Por lo tanto es una suma de cubos
\( x^{21}+27 =(x^7)^3 +3^3 \)
Aplicamos suma de cubos
\( a^3\color{#dc7400}{+}b^3=( a\color{#dc7400}{+}b )( a^2\color{#dc7400}{-}ab+b^2 ) \)
En lugar de a y b reemplazamos por \( x^7\) y 3.
\( (x^7)^3 \color{#dc7400}{+}3^3 = ( x^7\color{#dc7400}{+}3)[ \, (x^7)^2\color{#dc7400}{-}(x^7)(3)+(3)^2 ] \)
\( (x^7)^3 \color{#dc7400}{+}3^3= ( x^7\color{#dc7400}{+}3)( \,x^{14}\color{#dc7400}{-}3x^7+9 ) \)
6. Factorizar
\( x^3 -1 \)
Solución
Extraemos raíz cúbica a cada término
\( \sqrt[3]{x^3}=x \)
\( \sqrt[3]{1}=1 \)
Ahora le damos la forma de una diferencia de cubos
\( x^3 -1= x^3 -1^3 \)
Aplicamos diferencia de cubos
\( a^3\color{#dc7400}{-}b^3=( a\color{#dc7400}{-}b )( a^2\color{#dc7400}{+}ab+b^2 ) \)
En lugar de a y b reemplazamos por x y 1.
\( x^3 \color{#dc7400}{-}1^3 = ( x\color{#dc7400}{-}1)[ \, x^2\color{#dc7400}{+}(x)(1)+(1)^2 ] \)
\( x^3 \color{#dc7400}{-}1= ( x\color{#dc7400}{-}1)( \, x^2\color{#dc7400}{+}x+1 ) \) Factorizado!!
7. Factorizar
\( 8x^3 -1 \)
Solución
Extraemos raíz cúbica a cada término
\( \sqrt[3]{8x^3}=\sqrt[3]{2^3x^3} = 2x\)
\( \sqrt[3]{1}=1 \)
Ahora le damos la forma de una diferencia de cubos
\( x^3 -1= (2x)^3 -1^3 \)
Aplicamos diferencia de cubos
\( a^3\color{#dc7400}{-}b^3=( a\color{#dc7400}{-}b )( a^2\color{#dc7400}{+}ab+b^2 ) \)
En lugar de a y b reemplazamos por 2x y 1.
\( (2x)^3 \color{#dc7400}{-}1^3 = ( 2x\color{#dc7400}{-}1)[ \, (2x)^2\color{#dc7400}{+}(2x)(1)+(1)^2 ] \)
\( (2x)^3 \color{#dc7400}{-}1= ( 2x\color{#dc7400}{-}1)( \, 4x^2\color{#dc7400}{+}2x+1 ) \) Factorizado!!
8. Factorizar
\( x^3 -64 \)
Solución
Recuerda \(64=4.4.4=4^3 \)
\( x^3 -64 =x^3 -4^3\)
Entonces aplicamos diferencia de cubos
\( a^3\color{#dc7400}{-}b^3=( a\color{#dc7400}{-}b )( a^2\color{#dc7400}{+}ab+b^2 ) \)
En lugar de a y b reemplazamos por x y 4.
\( x^3 \color{#dc7400}{-}4^3 = ( x\color{#dc7400}{-}4)[ \, x^2\color{#dc7400}{+}(x)(4)+(4)^2 ] \)
\( x^3 \color{#dc7400}{-}4^3= ( x\color{#dc7400}{-}4)( \, x^2\color{#dc7400}{+}4x+16 ) \) Factorizado!!
9. Factorizar
\( (x+y)^3 -1 \)
Solución
\( (x+y)^3 -1=(x+y)^3 -1^3\)
Entonces aplicamos diferencia de cubos
\( a^3\color{#dc7400}{-}b^3=( a\color{#dc7400}{-}b )( a^2\color{#dc7400}{+}ab+b^2 ) \)
En lugar de a y b reemplazamos por (x+y) y 1.
\( (x+y)^3 \color{#dc7400}{-}1^3 = [ (x+y)\color{#dc7400}{-}1][ \, (x+y)^2\color{#dc7400}{+}(x+y)(1)+(1)^2 ] \)
Operando
\( (x+y)^3 \color{#dc7400}{-}1= ( x+y\color{#dc7400}{-}1)[ \, x^2+2x+y^2+x+y+1 ] \)
\( (x+y)^3 \color{#dc7400}{-}1= ( x+y\color{#dc7400}{-}1)( \, x^2+3x+y^2+y+1 ) \) Factorizado!!
10. Factorizar
\( (m+n)^3 -(m-n)^3 \)
Solución
Tiene la forma de una diferencia de cubos
\( a^3\color{#dc7400}{-}b^3=( a\color{#dc7400}{-}b )( a^2\color{#dc7400}{+}ab+b^2 ) \)
En lugar de a y b reemplazamos por (m+n) y ( m-n).
\( (m+n)^3 \color{#dc7400}{-}(m-n)^3 = [ (m+n)\color{#dc7400}{-}(m-n)][ \, (m+n)^2\color{#dc7400}{+}(m+n)(m-n)+(m-n)^2 ] \)
\( (m+n)^3 \color{#dc7400}{-}(m-n)^3= ( m+n-m+n)[ \, m^2+2mn+n^2+m^2-n^2+m^2-2mn+n^2 ] \)
\( (m+n)^3 \color{#dc7400}{-}(m-n)^3= ( 2n)( \, 3m^2 +4mn+n^2 ) \) Factorizado!!
Factorización Por Aspa Simple
Cuando no se pueda factorizar por trinomio cuadrado perfecto entonces se ulitiza aspa simple. Este método se aplica a cualquier polinomio de 2do grado de la forma.\[ \bbox[10px,border: 1px solid #dc7400]{Ax^2+Bx+C} \]Expliquemos directamente con ejemplos
Recuerda la ley de los signos
\( (+)(+)=+ \)
\( (-)(-)=+ \)
\( (+)(-)=- \)
\( (-)(+)=- \)
Ejemplos
Lo más adecuado es empezar con ejemplos muy sencillos para luego aumentar la dificultad.
1. Factorizar
\( x^2+5x+6 \)
Solución
Este primer ejemplo se va explicar paso por paso ponga mucha atención.
Descomponemos el término cuadrático y el término indepediente en 2 factores
x2 = x . x
\( +6= +2 \times +3 \)
Los factores se escriben debajo de cada término.
Ahora multiplicamos en aspa, como se observa en el diagrama
(x)(+3)=+3x
(x)(+2)=+2x
| +2x +3x |
| +5x |
Luego sumamos +2x+3x = 5x esta suma debe ser igual al término central 5x
Por lo tanto los factores se toman horizontalmente como observa
\( x^2 +5x + 6 = (x+2)(x+3) \) Factorizado!!
2. Factorizar
\( x^2+3x+2\)
Solución
Descomponemos en dos factores
x2 = x . x
\(2= +2\times +1\)
Escribimos los factores debajo de cada término y multiplicamos en aspa.
| +2x +1x |
| +3x |
Luego sumamos +1x+2x =+3x esta suma debe ser igual al término central +3x.
Los factores se toman horizontalmente.
\( x^2+3x+2=(x+2)(x+1)\) Factorizado!!
3. Factiruzar
\( x^2+4x+3\)
Solución
Descomponemos en dos factores
x2 = x . x
\(3= +3\times +1\)
Escribimos los factores debajo de cada término y multiplicamos en aspa.
| ⇒ ⇒ |
+3x +1x |
| +4x |
Luego sumamos +3x+1x =+4x esta suma debe ser igual al término central +4x.Los factores se toman horizontalmente.
\( x^2+4x+3=(x+3)(x+1)\) Factorizado!!
4. Factorizar
\( x^2-2x+1\)
Solución
Descomponemos en dos factores
x2 = x . x
\(1= -1\times -1\) recuerda (-1)(-1)=1
Escribimos los factores debajo de cada término y multiplicamos en aspa.
| ⇒ ⇒ |
-x -x |
| -2x |
Luego sumamos -x-x =-2x esta suma debe ser igual al término central -2x.
Los factores se toman horizontalmente.
\( x^2-2x+1=(x-1)(x-1)\)
\( x^2-2x+1=(x-1)^2 \) Factorizado!!
5. Factorizar
\( x^2-9x+8\)
Solución
Descomponemos en dos factores
x2 = x . x
\(8= -8\times -1\) recuerda (-8)(-1)=8
| ⇒ ⇒ |
-8x -x |
| -9x |
Luego sumamos -8x-x =-9x esta suma debe ser igual al término central -9x.
Los factores se toman horizontalmente.
\( x^2-9x+8=(x-8)(x-1)\) Factorizado!!
6. Factorizar
\( m^2-5m-14\)
Solución
Descomponemos en dos factores
m2 = m . m
\(-14= -7\times 2\) recuerda (-7)(2)=-14
| -7m +2m |
| -5m |
Luego sumamos -7m+2m =-5m esta suma debe ser igual al término central -5m.
Los factores se toman horizontalmente.
\( m^2-5m-14=(m-7)(m+2)\) Factorizado!!
7. Factorizar
\( 2x^2+5x+2\)
Solución
Descomponemos en dos factores el término cuadrático y el término independiente
2x2 = 2x . x
\(2= 1\times 2\)
Escribimos los factores debajo de cada término y multiplicamos en aspa.
| ⇒ ⇒ |
+1x +4x |
| +5x |
Luego sumamos +x+4x =+5x esta suma debe ser igual al término central +5x.
Los factores se toman horizontalmente.
\( 2x^2+5x+2=(2x+1)(x+2)\) Factorizado!!
8. Factorizar
\( 2a^2+7a+6\)
Solución
Descomponemos en dos factores el término cuadrático y el término independiente
2a2 = 2a . a
\(6= +3\times +2\)
Escribimos los factores debajo de cada término y multiplicamos en aspa.
| ⇒ ⇒ |
+3a +4a |
| +7a |
Luego sumamos +3a+4a =+7a esta suma debe ser igual al término central +7a.
Los factores se toman horizontalmente.
\( 2a^2+7a+6=(2a+3)(a+2)\) Factorizado!!
9. Factorizar
\( 3a^2-5a-2\)
Solución
Descomponemos en dos factores el término cuadrático y el término independiente
3a2 = 3a . a
\(-2= -2\times +1\)
Se escriben los factores debajo de cada término y multiplicamos en aspa.
| ⇒ ⇒ |
+a -6a |
| -5a |
Luego sumamos \(+a-6a =-5a \) esta suma debe ser igual al término central -5a.
Los factores se toman horizontalmente.
\( 3a^2-5a-2=(3a+1)(a-2)\) Factorizado!!
10. Factorizar
\( a^4+3a^2+2\)
Solución
También se puede aplicar aspa simple,descomponemos en dos factores
a4 = a2 . a2
\(+2= +1\times +2\)
Se escriben los factores debajo de cada término y multiplicamos en aspa.
| ⇒ ⇒ |
+a2 +2a2 |
| +3a2 |
Luego sumamos +a2+2a2 =+3a2 esta suma debe ser igual al término central +3a2.
Los factores se toman horizontalmente.
\( a^4+3a^2+2=(a^2+1)(a^2+2)\) Factorizado!!
11. Factorizar
\( 5a^6+7a^3-12\)
Solución
También se puede aplicar aspa simple,descomponemos en dos factores
5a6 = 3a3 . a3
\(-12= +12\times -1\)
Colocamos los factores debajo de cada término y multiplicamos en aspa.
| ⇒ ⇒ |
+12a3 -5a3 |
| +7a3 |
Luego sumamos +12a3-52a3 =+7a3 esta suma debe ser igual al término central +7a3.
Los factores se toman horizontalmente.
\( 5a^6+7a^3-12=(5a^3+12)(a^3-1)\) Factorizado!!
Conteo de Factores Primos
El número de factores primos de un polinomio son los factores primos que se encuentran como base de una potencia y que contienen las variables.
Factor primo es aquel factor que no se puede descomponer.
Ejemplos
∗ \( M(x)=10x^4 \)
Tiene 1 factor primo la «x»
∗ \( N(x,y,z)=8xy^2z^3 \)
Tiene 3 factores primos como la «x», «y», «z»
∗\( P(x)=5(x-2)^2(x+5)^5 \)
Tiene 2 factores primos \( (x-2) \) y \( (x+5) \)
∗ \( Q(x,y)=2xy(x+y)(x^2+1)^2\)
Tiene 4 factores primos
3 factores lineales \(x\), \( y\) , \( (x+y) \)
1 factor cuadrático \( (x^2+1) \)
∗ \( R(x,y)=7x^3y^4(x^2+xy+y^2)^3 \)
Tiene 3 factores primos
2 factores lineales \( x\) , \(y\)
1 factora cuadrático \( (x^2+xy+y^2) \)
Problemas Resueltos
Nivel Básico
Recuerde si está correctamente factorizado cuando multiplica los factores nos tiene que dar el polinomo original.
1. Factorizar:
\( Q= x^2y+xy^2+xy \)
Indique el número de factores primos
Solución
\( Q=x.x.y +x.y.y + xy.1 \)
Todos los término tienen x e y entonces extraemos factor común la «x» e «y»
\( Q= xy (x+y+1) \)
Entonces tiene 3 factores lineales \(x\), \(y\), \( (x+y+1) \)
2. Factorizar:
\( R= x^3+x^2 \)
Solución
\( R= x^2x+x^2.1 \)
Extraemos factor común \(x^2\)
\( R= x^2(x+1 )\) Factorizado
3. Factorizar:
\( M=-4x-4 \)
Solución
\( M=-4x-4\times 1 \)
Se extrae el factor común -4
\( M=-4(x+1) \) Factorizado
4. Factorizar:
\( M= x^3+x^2-4x-4 \)
Solución
Extraemos \(x^2\) y \(-4\) respectivamente
\( M= x^2(x+1)-4(x+1) \)
Ahora se procede a extraer (x+1)
\( M= (x+1)(x^2-4) \) Factorizado!!