Las ecuaciones exponenciales son aquellas donde la incógnita está en el exponente. Son ecuaciones no algebraicas o trascendentes. Así tenemos las siguientes ecuaciones exponenciales.
Propiedades
I. Si tienen bases iguales entonces los exponentes tienen que ser iguales.
am = an ⇒ m = n
II. A exponentes iguales, entonces bases iguales
xm = ym ⇒ x = y
III. Si tienen la misma analogía o simetría
xx = bb ⇒ x = b
Ecuaciones Exponenciales de Bases Iguales
Se expresa ambos lados de la ecuación en potencias de bases iguales entonces se igualan los exponentes:
\( a^m = a^n \) ⇒ \( m=n \)
Ejemplos
1. Resolver la ecuación exponencial
A4x = A80
Solución
Como tienen la misma base «A» entonces se procede a igualar exponentes
4x = 80
x = 80/4
x= 20 ✓
2. Resolver
5x+2 = 125
Solución
Escribiendo 125 en base «5»
125 = (5)(5)(5) = 53
Reemplazamos
5x+2 = 53
Igualando exponentes
x+2 = 3
x = 1 ✓
3. Resolver
32a + 1= 34 – a
Solución
Se observa que tienen la misma base «3» entonces se igualan los exponentes
2a + 1 = 4 – a
2a + a = 4 – 1
3a = 3
a = 1 ✓
4. Resolver
\( (\cfrac{1}{5})^x = 5^4 \)
Solución
Por leyes de exponentes \( \cfrac{1}{a}= a^{-1} \)
Entonces \( \cfrac{1}{5} = 5^{-1} \)
\( ( 5^{-1} )^x = 5^4 \)
\( 5^{-x} = 5^4 \)
Igualando exponentes
-x = 4
x = -4 ✓
5. Calcular el valor de «x»
\( ( \cfrac{1}{4} )^{x+1}= 16^{x+4} \)
Resolver
Escribiendo \( \cfrac{1}{4} = 4^{-1} \)
También 16 = 4×4 = 42
Reemplazando
\( ( 4^{-1} ) ^{(x+1)} = ( 4^2)^{x+4} \)
\( 4 ^{-1(x+1)} = 4^{2(x+4)} \)
igualando exponentes
-1(x+1) = 2(x+4)
-x -1 = 2x + 8
-1 -8 = 2x +x
-9 = 3x
-9/3 =x entonces x= -3 ✓
6. Hallar el valor de «a»
54a = 625
Solución
Se escribe 625 en base «5«
625 = 5 x 5 x 5 x 5= 54
54a = 54
igualando exponentes
4a =4
a = 1 ✓
7. Resolver
2x + 2x+2 = 20
Solución
2x + 2x.22 = 20
2x+ 2x.4 = 20
ordenando para apreciar mejor
(2x)+ 4(2x)= 20 ojo ♥ + 4♥ = 5♥
5(2x) = 20
2x = 4
x=2
8. Resolver
\( \sqrt[x]{x} = 5^{ \frac{1}{2} } \)
Solución
\( \underbrace{ \sqrt[x]{5} }_{ 5^ { \frac{1}{x} } } = 5^{ \frac{1}{2} } \)
\( 5^ { \frac{1}{x} } = 5^{ \frac{1}{2} } \) bases iguales
\( \cfrac{1}{x} = \cfrac{1}{2} \)
x = 2 ✓
9. Hallar el valor de «x»
\( 3^{3^x} = 27 \)
Solución
Transformando 27 = (3)(3)(3) = 33
\( 3^{3^x} = 3^3 \)
Igualando exponentes
3x = 3
3x = 31
x = 1 ✓
10. Resolver
\( A^{3^{2^x}} = A^{81 } \)
Solución
Igualando exponentes
\( 3^{2^x} = 81 \)
Pero 81 = (3)(3)(3)(3) = 34
\( 3^{2^x} = 3^4 \)
Ahora se igualan los exponentes
2x = 4
Transformando 4=22
2x = 22
Finalmente igualando exponentes
x = 2 ✓
11. Resolver
83a + 2 = 162a + 3
Solución
8= 2x2x2 = 23
16 = 2x2x2x2 = 24
Reemplazando
(23)3a + 2 = (24)2a + 3
23(3a + 2) = 24(2a + 3)
Realizando operaciones
29a + 6 = 28a + 12
Igualando exponentes
9a + 6 = 8a + 12
9a – 8a = 12 – 6
a = 6 ✓
Ecuaciones Exponenciales por Analogía
Este método consiste en comparar las ecuaciones que tienen la misma forma semejanza, o analogía.
\( x^x = b^b \) ⇒ x=b
\( a^{a^a} = b^{ b^b} \) ⇒ a = b
Ejemplos
1. Si xx = 4
Hallar x
Solución
4 = 2 x 2 = 22
xx = 22
x = 2 ✓
2. Resolver
aa =27
Solución
27 = 3x3x3 = 33
aa =33
a = 3 ✓
3. Resolver
\( {(a-5)}^{(a-5) }= 4 \)
Solución
4= 2×2 = 22
\( {(a-5)}^{(a-5)} = 2^2 \)
Por analogía
\(a-5 = 2 \)
a = 2 + 5
a = 7 ✓
4. Resolver
\( (5a)^{ a } = 5 \)
Solución
Elevando a la quinta ambos lados
\( { \color{orange}{ [ \color{black}{ (5a)^ a } ] } }^5 = { \color{orange}{ [ \color{black}{ 5 } ] } }^5 \)
\( (5a)^{ a.5 } = 5 ^5 \)
\( (5a)^{ ( 5a ) } = {(5)} ^{(5)} \)
Comparando
5a = 5
a = 1 ✓
5. Resolver \( x^x = \sqrt[5]{ \frac{1}{5} } \)
Solución
Por exponente fraccionario
\( \sqrt[n]{a} = a^{ \frac{1}{n} } \)
Aplicando
\( x^x = \sqrt[5]{ \frac{1}{5} } \)
\( x^x = { ( \frac{1}{5} ) }^{ ( \frac{1}{5} ) } \)
por analogía
x = 5 ✓
6. Si \( \sqrt[x]{x} = \sqrt[4]{2} \)
Solución
Por radicación
\( \sqrt[n]{a} =\sqrt[n \text{x} \color{red}{k} ]{a^{ \color{red}{k} } } \)
multiplicando por «4»
\( \sqrt[x]{x} = \sqrt[4 \text{x} \color{red}{ 4} ]{2^{ \color{red}{4} } } \)
\( \sqrt[x]{x} = \sqrt[16]{16} \)
Tienen la misma forma
x=16 ✓
7. Resolver
\( \sqrt[a+1]{a+1}= \sqrt[5]{5} \)
Solución
Transformando el lado derecho
5 = 4 +1 aplicando
\( \sqrt[a+1]{a+1}= \sqrt[4+1]{4+1} \)
Se observa por analogía
a=4 ✓
8. Resolver la ecuación exponencial
\( n^{ { (n+1) }^{ (n+1 ) } } = 2^{27} \)
Solución
Recuerda 27 = 33
\( n^{ { (n+1) }^{ (n+1) } } = 2^{3^3} \)
Ahora 3 = 2+1 aplicando
\( n^{ { (n+1) }^{ (n+1) } } = 2^{ { (2+1)}^{ (2+1) }} \)
Por analogía
n=2 Respuesta
9. Hallar el valor de «n»
\( n^n = \sqrt[3]{ \cfrac{4}{9} } \)
Solución
Aplicando \( \sqrt[ c ]{ \frac{a}{b} } = { ( \cfrac{a}{b} ) }^{ \frac{1}{c} } \)
\( n^n = { ( \frac{4}{9} ) }^{ \frac{1}{3} } \)
\( n^n = { [{( \frac{2}{3} ) }^2 ] }^{ \frac{1}{3} } \)
Además \( { ( a^b ) }^{ \frac{1}{c} } = a^{ \frac{b}{c} } \)
\( n^n = { ( \frac{2}{3} ) }^{ ( \frac{2}{3} ) } \)
Por lo tanto \( n= \frac{2}{3} \) Respuesta
10. Resolver
\( x^x = \frac{1}{ \sqrt{2} } \)
Solución
\( x^x = \sqrt{ \frac{1}{2 } } \)
\( x^x = { ( \frac{1}{2 } ) }^{ ( \frac{1}{2 } ) } \) ⇒ \( x= \frac{1}{2 } \) ✓
También
\( x^x = { ( \frac{1}{2 } ) }^{ ( \frac{1.2}{2.2 } ) } \)
\( x^x = { ( \frac{1}{2 } ) }^{ 2 ( \frac{1}{4 } ) } = { [ \; { ( \frac{1}{2 } ) }^2 \; ] }^{ ( \frac{1}{4 } ) } \)
\( x^x = { ( \frac{1}{4 } ) }^{ ( \frac{1}{4 } ) } \) ⇒ \( x= \frac{1}{4 } \) ✓
Por lo tanto existen dos soluciones
11. Resolver
\( ( 2a )^a = 16 \)
Solución
Elevando al cuadrado ambos lados
\( [ ( 2a )^a ]^2 = [16]^2 \)
\( (2a)^{2a} = [16]^2 \)
Pero 16 = 42 reemplazando
\( (2a)^{ (2a) } = [4^2]^2 \)
\( (2a)^{ (2a) } = 4^4 \)
2a = 4
a = 2 ✓
12. Resolver
\( x^{ x^5} = \sqrt[5]{4} \)
Solución
Elevando a la quinta ambos lados
\( ( x^{ x^5} )^5 = ( \sqrt[5]{4} )^5 \)
\( ( x^5)^{ x^5} = 4 \)
\( ( x^5)^{ ( x^5) } = 2^2 \)
Entonces por analogía
\( x^5 = 2\)
Sacando raíz quinta ambos lados
\( \sqrt[5]{ x^5 } = \sqrt[5]{2} \)
\(x= \sqrt[5]{2} \) ✓
13 Hallar el valor de x
\( x^x = \cfrac{ \sqrt[n]{4} }{ n^x} \)
Solucion
\( x^x.n^x =\sqrt[n]{4} \)
\( (xn)^x =\sqrt[n]{4} \)
elevando a la n
\( [ (xn)^x ]^n = [\sqrt[n]{4} ]^n \)
\( (xn)^{xn} = 4 \)
\( (xn)^{xn} = 2^2 \)
xn = 2 ⇒ \( x= \frac{2}{n} \) ✓
14. Resolver
\( x^{ x^n } = n \)
Solución
Se puede escribir \( n = { \sqrt[n]{n} }^ n \)
\( x^{ x^n } = { \sqrt[n]{n} }^n \)
Otra vez aplicamos \( n = \color{blue}{ { \sqrt[n]{n} }^n }\)
\( x^{ x^n } = { \sqrt[n]{ n } }^{ \color{blue}{ { \sqrt[n]{n} }^n } } \)
\( x^{ x^n } = { ( \sqrt[n]{ n } ) }^{ ( { \sqrt[n]{n} ) }^n } \)
\( x= \sqrt[n]{n} \)
En general:
Si \( x^{ x^{ { {\vdots}^{x^n} } } } \) = n ⇒ x = \( \sqrt[n]{n} \)
Ecuaciones Exponenciales de Bases Diferentes
Igualando Exponentes
Cuando las bases son diferentes los exponentes se igualan a cero.
\( a^x = b^y \) ⇒ x=y=0
Además a ≠ b ≠ 0
Ejemplo
Resolver la siguiente ecuación exponencial
\( 5^{x^2+x} = 7^{x^2-1} \)
Solución
Como las bases son diferentes igualamos los exponentes a cero.
|
\( x^2 + x = 0 \) ii) x+1 = 0 |
\( x^2 – 1 = 0 \) \( (x+1)(x-1) = 0 \) i) (x-1)=0 i) (x +1)=0 |
La solución común
x = -1 ✓ Respuesta
Nota: Cuando los exponentes son iguales simplemente se igualan las bases.
\( a^x = b^x \) ⇒ a=b y x ≠ 0
Ejemplo 1
Resolver
\( (2a +1)^x = (4+a)^x \)
Solución
Como los exponentes son iguales se igualan las bases
2a + 1 = 4 + a
2a – a = 4 – 1
a = 3 ✓
Ejemplo 2
Resolver
(3a – 4 )5 = 32
Solución
Pero 32 = 2x2x2x2x2 = 25
Reemplazando
(3a – 4 )5 = 25
Igualando las bases
3a – 4 = 2
3a = 6
a = 6/3 = 2 ✓
Ecuaciones Exponenciales Aplicando Logaritmos
Para resolver ecuaciones exponenciales empleando logaritmos se va usar el siguiente procedimiento general que puede variar de acuerdo al problema.
Sea Ax = B
Tomando logaritmos ambos lados
logAx = logB
Por la propiedad de logaritmo de una potencia el exponente baja
xlogA = logB
Luego se procede a despejar la «x»
x\( = \frac{logB}{logA} \)
Ejemplos
1) Resolver
3x = 4
Solución
Aplicando logaritmo ambos lados
log 3x = log 4
Propiedad de logaritmo de una potencia el exponente «x» baja
x log 3 = log 4
Ahora simplemente despejamos la «x»
\( x = \cfrac{ log4}{log3} \)
2. Resolver
32x = 7
Solución
Tomando logaritmo ambos lados
log 32x = log 7
Bajando el exponente «2x» por la propiedad de logaritmo
2x log3 = log7
Despejando la «x«
\( x = \cfrac{ log7}{2log3} \)
3. Resolver
53x+2 = 12
Solución
log 53x+2 = log 12
El exponente «3x+2» baja (propiedad de logaritmos)
(3x +2) log 5 = log 12
multiplicamos y despejamos la «x»
3x log 5 + 2log 5 = log 12
3x log 5 = log 12 – 2log 5
\(x = \cfrac{ log12 – 2log5}{3log5} \)
4. Resolver
\( 3^{x^2}= 4 \)
Solución
Aplicando logaritmo ambos lados
\(log 3^{x^2} = log 4 \)
El exponente «x2» baja por la propiedad de logaritmos
\(x^2 log 3 = log 4 \)
Despejando la «x»
\(x^2 = \cfrac{log4}{log3} \)
\( x= \pm \sqrt{ \cfrac{log4}{log3} } \)
Ejercicios Resueltos de Ecuaciones Exponenciales
1. Resolver la siguiente ecuación exponencial
\( 5^{ x^2 +4x -8 } = 5^{ x^2 – 2x +10 } \)
Solución
Igualando exponentes \( \require{cancel} \)
\( \cancel{x^2}+4x -8 = \cancel{x^2} – 2x +10 \)
4x – 8 = – 2x +10
4x + 2x = 10 + 8
6x = 18
x = 18/3 ⇒ x = 6 ✓
2. Hallar «x» al resolver
\( x^x = \sqrt[9]{ \frac{1}{3} } \)
Solución
\( x^x = ( \frac{1}{3})^{ \frac{1}{9} } \)
\( x^x = ( \frac{1}{3})^{ \frac{ \color{red}{3}. 1}{ \color{red}{3}.9} } \)
\( x^x = { [ ( \frac{1}{3})^{ \color{red}{3} } ] }^{ \frac{ 1}{ \color{red}{3}.9} } \)
\( x^x = ( \frac{1}{27})^{ \frac{1}{27} } \)
\(x = \frac{1}{27} \) ✓
2. Resolver
\( x^{ 7^x } = \cfrac{1}{ 7^{\sqrt[7]{7} } } \)
Solución
\( x^{ 7^x } = \cfrac{1}{ 7^{\sqrt[7]{7} } } \) aplicando \( \cfrac{1}{ a^b } = ( \cfrac{1}{ a } )^b \)
\( x^{ 7^x } = ( \cfrac{1}{ 7 } )^{ \sqrt[7]{7} } \) además \( \sqrt[7]{7} = 7^{ \frac{1}{7} } \)
\( x^{ 7^x } = ( \cfrac{1}{ 7 } )^{ 7^{ \frac{1}{7} } } = ( \cfrac{1}{ 7 } )^{ 7^{ ( \frac{1}{7} ) } } \)
Entonces comparando por analogía
\( x= \frac{1}{7} \) ✓
3. Hallar «x»
\( x^x = \sqrt[ 625]{ \cfrac{1}{5} } \)
Solución
\( x^x = ( \cfrac{1}{5} )^{ \frac{1}{625} } \)
\( x^x = ( \cfrac{1}{5} )^{ \frac{1}{5^4} } \)
\( x^x = ( \cfrac{1}{5} )^{ \frac{ \color{red}{5}.1}{ \color{red}{5}.5^4} } \)
\( x^x = ( \cfrac{1}{5} )^{\color{red}{5}.{ \frac{1}{5^5} } } \)
\( x^x = ( \cfrac{1}{5^5} )^{ \frac{1}{5^5} } \)
Por analogía o semejanza
\( x= \cfrac{1}{ 5^5} \) ✓
4. Hallar el valor de «x»
\( m^{ x^{n-x} } = x^{ x^{ x^{ x^n} } } \) si \(m= x^{ x^x} \)
Solución
Reemplazando el valor de \(m= x^{ x^x} \)
\( (x^{ x^x}) ^{ x^{n-x} } = x^{ x^{ x^{ x^n} } } \)
\( (x)^{ x^x . x^{n-x} } = x^{ x^{ x^{ x^n} } } \)
\( (x)^{ x^{ x +n-x} } = x^{ x^{ x^{ x^n} } } \)
\( (x)^{ x^n } = (x)^{ x^{ x^{ x^n} } } \)
Igualando exponentes
\( x^n = x^{ x^{ x^n} } \)
Igualando exponentes
\( n = x^{ x^n} \)
elevando a la «n» ambos lados
\( n^n = ( x^{ x^n} )^n \)
\( (n)^{(n)} = ( x^n )^{ ( x^n )} \)
Por analogía
\( n = x^n \) ⇒ \( \sqrt[n]{n} = x \) Respuesta