Ecuaciones Cuadráticas

Las ecuaciones cuadráticas son  aquellas que luego de ser simplificadas su mayor exponente de la incógnita es 2. Es decir es una ecuación polinómica de segundo grado.

Toda ecuación de segundo grado presenta la siguiente forma general.

Forma General
\( ax^2+bx+c=0    \)

donde a, b, c son coeficientes y «x» es la incógnita.
ax² = término cuadrático
bx = término lineal 
c = término independiente

Las soluciones o raíces de la ecuaciones cuadráticas son los valores que toma la incógnita que hacen que la igualdad se verifica. Una ecuación cuadrática se puede resolver aplicando la fórmula general o por factorización.

Fórmula General Para Ecuaciones Cuadráticas

Una manera de resolver una ecuación cuadrática es aplicando la fórmula general. Sea la ecuación: \[ ax^2 + bx + c = 0\]Las soluciones están dadas por la siguiente fórmula general:
\[ x=\cfrac{-b \color{red}{\pm} \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \] Nota : b²  – 4ac ; se le llama discriminante y se le simboliza  por  \( \Delta \) \[  \Delta = b^2 -4ac \]

Ejemplos

Dado las siguientes ecuaciones cuadráticas
1) Resolver x² + 3x +2 = 0
Aqui  a =1   b = +3    c = +2

Aplicando la Fórmula General

\( x=\cfrac{-b \color{red}{\pm}\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \)   

Reemplazando  a=1, b=3 y c=2 

\( x=\cfrac{-(+3) \color{red}{\pm}\sqrt{(3)^2-4(1)(2)}}{2(1)} \)

\( x=\cfrac{-3 \color{red}{\pm}\sqrt{9-8}}{2} =\cfrac{3 \color{red}{\pm} \sqrt{1} }{2} = \cfrac{3 \color{red}{\pm} 1 }{2}\) 

\( x= \cfrac{3 \color{red}{+}1 }{2} = \cfrac{4}{2}= 2\) ✓

\( x_= \cfrac{3 \color{red}{-}1}{2} = \cfrac{2}{2}=1 \) ✓

2) Resolver x² – 7x + 11 = 0

Aqui  a =+1   b = – 7    c = + 11

Aplicando la Fórmula General

\( x=\cfrac{-b \color{red}{\pm}\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \)

Reemplazando  a =1, b = -7 y c = 11} 

\( x=\cfrac{-(-7) \color{red}{\pm}\sqrt{(-7)^2-4(1)(11)}}{2(1)} \)

\( x=\cfrac{7 \color{red}{\pm}\sqrt{49-44}}{2} =\cfrac{7 \color{red}{\pm} \sqrt{5} }{2} \) 

\( x= \cfrac{7 \color{red}{+} \sqrt{5} }{2}\) ✓

\( x= \cfrac{7 \color{red}{-} \sqrt{5} }{2}\) ✓

3) Hallar las raíces 4x² – 8x +4 = 0

Aqui  a =4   b = -8    c = +4

Aplicando la Fórmula General} 

\( x=\cfrac{-b \color{red}{\pm}\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \)

 Reemplazando  a=4, b=-8 y c=4

\( x=\cfrac{-(-8) \color{red}{\pm}\sqrt{(-8)^2-4(4)(4)}}{2(4)} \)

\( x=\cfrac{8 \color{red}{\pm}\sqrt{64-64}}{2} =\cfrac{8 \color{red}{\pm} \sqrt{0} }{2} = \cfrac{8 \color{red}{\pm} 0 }{2}\) 

\( x= \cfrac{8 \color{red}{+}0 }{2} = \cfrac{8}{2}= 4\) ✓

\( x= \cfrac{8 \color{red}{-}0}{2} = \cfrac{8}{2}=4\) ✓
          solución de multiplicidad 2

4) Resolver x²  – 3x +  4 = 0

Aqui  a =1   b = -3    c = +4

Aplicando la Fórmula General

\( x=\cfrac{-b \color{red}{\pm}\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \)   

Reemplazando  a=1, b=-3 y c=4

\( x=\cfrac{-(-3) \color{red}{\pm}\sqrt{(-3)^2-4(1)(4)}}{2(3)} \)

\( x=\cfrac{3 \color{red}{\pm}\sqrt{9-16}}{2} =\cfrac{3 \color{red}{\pm} \sqrt{-5} }{2} \)

 \( x=\cfrac{3 \color{red}{\pm} \sqrt{5} .\sqrt{-1} }{2} = \cfrac{3 \color{red}{\pm} \sqrt{5} \;i }{2} \) 

\( x= \cfrac{3 \color{red}{+} \sqrt{5}\;i }{2} \) ✓

\( x_= \cfrac{3 \color{red}{-} \sqrt{5}\;i }{2} \) ✓ 

5)  x² – 7x + 10 = 0

Aqui  a =1   b = -7    c = 10

Aplicando la Fórmula General

\( x=\cfrac{-b \color{red}{\pm}\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \) 

Reemplazando  a=1, b=-7 y c=10

\( x=\cfrac{-(-7) \color{red}{\pm}\sqrt{(-7)^2-4(1)(10)}}{2(1)} \)

\( x=\cfrac{7 \color{red}{\pm}\sqrt{49-40}}{2} =\cfrac{7 \color{red}{\pm} \sqrt{9} }{2} = \cfrac{7 \color{red}{\pm} 3 }{2}\) 

\( x= \cfrac{7 \color{red}{+}3 }{2} = \cfrac{10}{2}= 5\) ✓

\( x_= \cfrac{7 \color{red}{-}3}{2} = \cfrac{4}{2}=2 \) ✓

Las ecuaciones cuadráticas que les falta el término lineal o  el término independiente se les conoce como ecuaciones cuadráticas incompletas  y presentan la siguiente forma:

ax²+c=0  ⇐ no tiene término lineal
ax²+bx=0 ⇐ no tiene término independiente

Ecuaciones Cuadráticas Incompletas \(ax^2+c=0\)

Son ecuaciones cuadráticas que le falta el término lineal  como las siguientes ecuaciones cuadráticas.

7x² + 10 = 0
20x² – 81 = 0
3x² + 25 = 0
En general presentan la siguiente forma general

\(ax^2+c=0\)

Se va a resolver aplicando la fórmula general y también se puede resolver despejando la incognita que es más fácil.

Ejemplos

Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas aplicando la fórmula cuadrática.

1) Resolver 2x² – 3 = 0

Solución Aplicando la Fórmula General
2x² – 3 = 0 se puede escribir así:
2x² +0x – 3 = 0
Aquí  a =2   b = 0    c = -3
\[ \text{Aplicando la Fórmula General} \] \[ x=\cfrac{-b \color{red}{\pm}\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \] \[  \text{Reemplazando  a=2, b=0 y c=-3} \]

\( x=\cfrac{-(0) \color{red}{\pm}\sqrt{(0)^2-4(2)(-3)}}{2(2)} \)

\( x=\cfrac{0 \color{red}{\pm}\sqrt{0+24}}{4} =\cfrac{0 \color{red}{\pm} \sqrt{24} }{4} \) 

\( x= \cfrac{   \color{red}{+}  \sqrt{24}   }{4} = \cfrac{ +   \sqrt{6} }{2} \) ✓

\( x_= \cfrac{ \color{red}{-} \sqrt{24} }{4} = \cfrac{ -\sqrt{6} }{2}  \) ✓

Solución Despejando la Incógnita
2x² – 3 = 0
\( 2x^2 = 3 \)
\( x^2 = \cfrac{3}{2} \)
\( x = \pm \sqrt{ \cfrac{3}{2} } \)
Las soluciones son:
\( x = + \sqrt{ \cfrac{3}{2} }\) ✓    y      \( x = – \sqrt{ \cfrac{3}{2} }\)✓
Se puede racionalizar y expresar así
\( x= + \cfrac{ \sqrt{6} }{2}  \) y \( x=- \cfrac{ \sqrt{6} }{2}  \)

2)  Resolver  3x² – 27 = 0
\( 3x^2 = 27 \)   
\( x^2 = \cfrac{27}{3} \)
\(x^2 = 9 \)
\( x= \color{red}{\pm} \sqrt{ 9} \) 
x= +3 ✓  y   x= –3 ✓

3) Resolver 15x² – 60 = 0
\( 15x^2 = 60 \)
\( x^2 = \cfrac{60}{15} \)
\( x^2 = 4 \)
\( x = \pm \sqrt{4} \)
x= +2  ✓    y      x = -2 ✓

4) Resolver 4x² + 100 = 0
\(  4x^2  = -100 \)
\( x^2 = – \cfrac{100}{4} \)
\( x^2 = -25 \)
\( x= \pm \sqrt{-25} = \pm \sqrt{25} \sqrt{-1} = \pm 5i\) 

Ecuaciones Cuadráticas incompletas \( ax^2 + bx =0 \)

Son ecuaciones cuadráticas que le falta el término independiente como las siguientes ecuaciones cuadráticas.

3x² + 4x = 0
5x² – 16x = 0
x² + 25x = 0
En general presentan la siguiente forma general

\(ax^2+bx=0\)

Se puede resolver aplicando la fórmula general y pero es mucho más sencillo factorizando.

Ejemplos

1) Resolver x² – 5x = 0

Solución Aplicando la Fórmula General
x² – 5x = 0 se puede escribir
x² – 5x + 0 = 0

Aqui  a =1   b = -5    c = 0
\[ \text{Aplicando la Fórmula General} \] \[ x=\cfrac{-b \color{red}{\pm}\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \] \[  \text{Reemplazando  a=1, b=-5 y c=0} \]

\( x=\cfrac{-(-5) \color{red}{\pm}\sqrt{(-5)^2-4(1)(0)}}{2(1)} \)

\( x=\cfrac{+5 \color{red}{\pm}\sqrt{25-0}}{2} =\cfrac{+5 \color{red}{\pm} \sqrt{25} }{2} = \cfrac{+5 \color{red}{\pm} 5 }{2}\) 

\( x= \cfrac{5 \color{red}{+}5 }{2} = \cfrac{10}{2}= 5\) ✓

\( x_= \cfrac{5 \color{red}{-}5}{2} = \cfrac{0}{2}=0 \) ✓

Solución Despejando la Incógnita
Se sabe  que x² = x.x
x.x -5x = 0 
Se extrae factor común «x» 
x( x – 5) = 0
Cada factor se iguala a cero
x= 0 ✓           x -5 = 0
                      x = 5 ✓ 
Las soluciones son x=0 y x= 5

2) Resolver  4x²  – 5x = 0
4x.x – 5x = 0     
x ( 4x – 5) = 0   
x = 0 ✓     y         4x – 5 = 0
                             4x = 5 
                                 \(x = \cfrac{5}{4}\) ✓

3) Resolver 3x² – 5x = 0
 x ( 3x – 5 ) = 0
x = 0 ✓      y        3x – 5 = 0
                            3x = 5
                          \( x= \cfrac{5}{3} \) ✓

4)  Resolver 4x² + 3x = 0 
x ( 4x + 3 ) = 0
x= 0  ✓    y         4x + 3 = 0
                             4x = -3 ✓
                          \( x = \cfrac{-3}{4} \)

Propiedades de las Ecuaciones Cuadráticas

Discriminante Δ

Sea la ecuación  ax² + bx + c = 0  
Entonces la discriminante es \( Δ =  b^2 – 4ac \) 
si Δ > 0  ⇒ raíces reales diferentes
Δ = 0  ⇒ raíces reales iguales
Δ < 0  ⇒ raíces complejas

Suma de Raíces

Sea  la ecuación de segundo grado
ax² + bx + c = 0 
Sea x₁ y x₂ las soluciones 
Entonces la suma de las soluciones es \( x_1 + x_2 = \cfrac{-b}{a} \) 

Producto de Raíces

Sea  la ecuación de segundo grado
ax² + bx + c = 0 
Sea x₁ y x₂ las soluciones 
Entonces el producto de las soluciones es \( x_1.x_2 = \cfrac{c}{a} \)

Formando la Ecuación Cuadrática

Se puede formar la ecuación cuadrática a partir de la suma  y producto  de las  soluciones de la ecuación cuadrática. 
Sea 
S = x₁ + x₂  suma de soluciones   
P = x₁ . x₂ producto de soluciones
Entonces la ecuación cuadrática cuyas soluciones son x₁ y x₂ es:

\( x^2- \text{ S}x+ \text{P}=0 \)

Ejemplos

a) Formar la ecuación cuadrática a partir de sus soluciones x₁ = 3  y   x₂ = 4
Enotnces
S= 3+4=7  suma de raíces
P= (3)(4)=12  producto de raíces
\( x^2- \text{S}x+ \text{P}=0 \)
\( x^2-7x+ 12=0 \)

b) Hallar la ecuación de segundo grado que tiene por soluciones x₁ = 5  y  x₂ = 3 
Entonces
S = 5 + 3 = 8 suma de raíces
P = 5×3 = 15  producto de raíces
 \( x^2- \text{S}x+ \text{P}=0 \)
\( x^2- 8x+ 15=0 \)

c) Formar la ecuación cuadrática a partir de sus soluciones   x₁ = -2  y x₂ = -1 
S= x₁ + x₂  =-2-1 =-3    
P= x₁.x₂=(-2)(-1)=2
\( x^2- \text{S}x+ \text{P}=0 \)
\( x^2- (-3)x+ 2=0 \)
\( x^2+3x+ 2=0 \)

Ejercicios Resueltos de Ecuaciones Cuadráticas

1. En la ecuación x² + 8x – m = 0
Hallar m si una solución es x=2
Solución
Reemplazando x=2 en la ecuación
x² + 8x – m = 0
(2)² + 8(2) – m = 0
4 + 16 -m = 0
20 – m = 0
20 = m  Respuesta

2. Hallar la ecuación que presenta como raíces \(x_1= \sqrt{3} \) y  \(x_2= -\sqrt{3} \)
Solución
S = x₁ + x₂   
S =  \(\sqrt{3} \)  \( -\sqrt{3} \) = 0

P = x₁.x₂     
\( P = ( \sqrt{3} ) (-\sqrt{3} ) =- ( \sqrt{3} )^2 =-9 \)
\( x^2- \text{S}x+ \text{P}=0 \)
x² – 0x -9 = 0    
x²  – 9 = 0  Respuesta

3. En la siguiente ecuación, hallar la suma de raíces:
x(x+2) + 5 = 3( 2 – x ) + x – 4
Solución
Se procede a operar
x(x+2) + 5 = 3( 2 – x ) + x – 4
x² + 2x + 5 = 6 – 3x + x – 4
x² + 2x + 5  -6 +3x -x +4 = 0
x² + 4x +3 = 0
a=1   b = 4   c= 3
Hallando la suma de raíces
x₁ + x₂ = \( \cfrac{-b}{a} \)
x₁ + x₂ = \( \cfrac{-4}{1} \) = -4  Respuesta